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Réponse :
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Explications étape par étape :
1) Calculer H(1), H(2), H(3), H(-6)
Pour calculer les valeurs de H(x) pour différentes valeurs de x, nous devons simplement substituer ces valeurs dans l'expression H(x) et effectuer les calculs.
Remplaçons x par 1 dans H(x) :
H(1) = 5(1)² + 4(1) - 2(1)² - 3(1) - 3(1)²
H(1) = 5 + 4 - 2 - 3 - 3
H(1) = 1
Remplaçons x par 2 dans H(x) :
H(2) = 5(2)² + 4(2) - 2(2)² - 3(2) - 3(2)²
H(2) = 20 + 8 - 8 - 6 - 12
H(2) = 2
Remplaçons x par 3 dans H(x) :
H(3) = 5(3)² + 4(3) - 2(3)² - 3(3) - 3(3)²
H(3) = 45 + 12 - 18 - 9 - 27
H(3) = 3
Remplaçons x par -6 dans H(x) :
H(-6) = 5(-6)² + 4(-6) - 2(-6)² - 3(-6) - 3(-6)²
H(-6) = 5(36) - 24 - 2(36) + 18 - 3(36)
H(-6) = 180 - 24 - 72 + 18 - 108
H(-6) = -6
Donc, nous avons les valeurs suivantes :
H(1) = 1
H(2) = 2
H(3) = 3
H(-6) = -6
2) Conjecturer une propriété
En observant les calculs que nous avons effectués, nous pouvons conjecturer que la propriété suivante peut être vraie :
La somme des coefficients des termes de degré 2 dans H(x) est égale à zéro.
Dans notre cas, les termes de degré 2 sont 5x², -2x² et -3x². La somme de leurs coefficients est 5 - 2 - 3 = 0. Cela soutient notre conjecture.
3) Démontrez la propriété
Pour démontrer la propriété, nous devons prouver que la somme des coefficients des termes de degré 2 dans H(x) est égale à zéro pour toute expression polynomiale.
Soit H(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀, où aₙ, aₙ₋₁, ..., a₂, a₁ et a₀ sont les coefficients du polynôme.
Pour les termes de degré 2, nous avons a₂x². La somme des coefficients de ces termes est donc a₂.
En supposant que la somme des coefficients des termes de degré 2 est égale à zéro, nous avons :
a₂ = 0
Par conséquent, nous avons démontré que la somme des coefficients des termes de degré 2 dans H(x) est égale à zéro.