Pour montrer que \(A(x)\) peut se mettre sous la forme \(A(x) = \frac{A}{{(x - 1)}^2} + \frac{B}{x - 1} + C\), nous devons effectuer une décomposition en éléments simples. Supposons que \(A(x)\) soit une fraction rationnelle de la forme \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes.
1. Commencez par décomposer \(Q(x)\) en facteurs premiers.
2. Ensuite, écrivez \(A(x)\) sous la forme \(\frac{P(x)}{Q(x)}\).
3. Effectuez une décomposition en éléments simples pour chaque facteur premier de \(Q(x)\).
Dans votre cas, si \(A(x)\) est de la forme \(A(x) = \frac{P(x)}{(x - 1)^2}\), le dénominateur \(Q(x)\) a un facteur \((x - 1)^2\). Vous pouvez commencer par décomposer en éléments simples pour ce facteur :
\[A(x) = \frac{A}{(x - 1)^2} + \frac{B}{x - 1} + C\]
Pour déterminer les valeurs de \(A\), \(B\), et \(C\), vous pouvez multiplier chaque terme par le dénominateur commun \((x - 1)^2\) pour éliminer les dénominateurs et simplifier l'expression. Ensuite, vous pouvez comparer les coefficients des termes correspondants pour déterminer les valeurs de \(A\), \(B\), et \(C\)
