Exercice 1:

Les deux parties A et B sont indépendantes.
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de pro-
duits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement du-
rable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client
rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant.
Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :
•à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est
0,9;
•si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la
bouteille du panier la semaine suivante est 0, 95;
si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ra-
mène la bouteille du panier la semaine suivante est 0, 2.
On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul,
on note R₁, l'événement «le client rapporte la bouteille de son panier de la n-ième semaine »>.

Partie A:

1) Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré
qui fera intervenir les événements R₁ et R₂.

2) Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et
de la deuxième semaine.

3) Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième se-
maine est égale à 0, 875.

4) Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est
la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On
arrondira le résultat à 10-³


Partie B:

Pour tout entier naturel n non nul, on note u, la probabilité que le client rapporte la bouteille du
panier de la n-ième semaine. On a alors u=P(R).

1) Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue):
Un
Rn
Ro
Rn+1
Rn+1
Rn+1
Rn+1

2) Justifier que pour tout entier naturel n non nul, Un+1 =0,75u,+0,2 •

3) Recopier et compléter les pointillés du programme Python suivant qui permet de déterminer
Un Le tester en écrivant dans la console u(1), puis u(2).
daf
2(D) :
k=1
U=0.9 # On utilise une majuscule car la
minuscule
while
U=
K=
return U
est
reser
1a
EDDCtIQI

4) A l'aide de l'algorithme ou de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (un) .

5) Pour tout entier naturel n non nul, u,=0,1 ×0,75"-'+0,8 .
a) Calcule la probabilité qu'un client ramène la bouteille sur chacune des 6 première se-maines.

b) Déterminer le sens de variation de la suite (un) .


Merci beaucoup de votre aide je met en photo le dm pour qu’on puisse mieux comprendre ☺️