Bonjour, voici les réponses et les explications
Partie A:
Pour démontrer \( x-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \leq x \) pour tout \( x \geq 0 \), nous allons utiliser la définition de la fonction logarithme naturel.
1. Tout d'abord, montrons que \( x-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \):
Considérons la fonction \( f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{1}{2}x^2 \). Nous devons montrer que \( f(x) \geq 0 \) pour tout \( x \geq 0 \).
Calculons la dérivée de \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{x^2}{1+x}
\]
Comme \( x \geq 0 \), alors \( f'(x) \geq 0 \). De plus, \( f'(x) = 0 \) seulement lorsque \( x = 0 \). Ainsi, la fonction \( f(x) \) est croissante pour \( x \geq 0 \).
En évaluant \( f(0) \), nous obtenons \( f(0) = 0 \). Donc, pour tout \( x \geq 0 \), \( f(x) \geq 0 \).
2. Ensuite, démontrons que \( \ln (1+x) \leq x \):
Cette inégalité est plus simple et peut être prouvée en remarquant que la fonction \( \ln(1+x) \) est croissante pour \( x \geq 0 \) et que \( \ln(1+0) = 0 \).
Ainsi, nous avons démontré \( x-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \leq x \) pour tout \( x \geq 0 \).
Partie B:
\( \left.1^{\circ}\right) \) Pour montrer que \( 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \), nous pouvons utiliser une preuve par induction.
- Cas de base: Pour \( n = 1 \), nous avons \( 1^2 = \frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = 1 \), ce qui est vrai.
- Hypothèse d'induction: Supposons que la formule est vraie pour un certain \( k \).
- Étape inductive: Nous devons montrer que la formule est vraie pour \( k + 1 \).
\[
1^2 + 2^2 + \ldots + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2
\]
Après simplification, nous obtenons \( \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \), ce qui prouve que la formule est vraie pour \( k + 1 \).
Par conséquent, la formule est vraie pour tout entier naturel \( n \) non nul.
\( \left.2^{\circ}\right) \) Pour montrer que \( \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{(n+1)(2 n+1)}{12 n^{3}} \leq v_{n} \leq \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \), nous allons d'abord examiner \( u_n \).
\( \left.3^{\circ}\right) \) Pour calculer la limite des suites \( \left(u_{n}\right) \) et \( \left(v_{n}\right) \), nous pouvons utiliser le fait que \( \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e \). Ainsi, la limite de \( u_n \) est \( e \) et la limite de \( v_n \) est \( \ln(e) = 1 \).
