1) La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon du cerlce en ce même point.
Donc (OT) est perpendiculaire à (TT')
et (O'T') est perpendiculaire à (TT')
or deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles, donc (OT) et (O'T') sont parallèles
2)
(OT) et (O'T') sont parallèles et les points P, T' et T ainsi que P, O' et O sont alignés dans cet ordre donc d'après le théorème de Thalès
PT'/PT = PO'/PO = O'T'/OT
or OT = 4,5 , O'T' = 1.5 et PO'= x
donc
x/PO = 1.5/4.5
x = PO * 1.5/4.5
4.5x = 1.5PO
PO = 4.5x/1.5
PO = 3x
3) x+5 = 3x
3x = x+5
3x-x = 5
2x = 5
x = 5/2
x = 2.5
PO' = x
PO' = 2.5 cm
PO = 3x
PO = 3*2.5
PO = 7.5 cm
4) Le triangle O'PT' est rectangle en T' donc d'après le théorème de Pythagore :
PO'² = PT'² + O'T'²
2.5² = PT'² + 1.5²
6.25 = PT'² + 2.25
PT'² = 6.25 - 2.25
PT'² = 4
d’où PT' = √4 = 2 cm
Calcul de PT avec le théorème de Thalès
On sait que PT'/PT = PO'/PO = O'T'/OT
donc
PT'/PT = O'T'/OT
2/PT = 1.5/4.5
2/PT = 15/45
2/PT = 3/9
2/PT = 1/3
2*3 = PT
PT = 6 cm
Calcul de PT avec le théorème de Pythagore.
Le triangle OPT est rectangle en T donc d'après le théorème de Pythagore :
PO² = PT² + OT²
7.5² = PT² + 4.5²
56.25 = PT² + 20.25
PT² = 56.25 - 20.25
PT² = 36
d’où PT = √36 = 6 cm
