Réponse:
1. Pour montrer que \(f(x) = -0,2(x-2)^2 +16,2\), on commence par développer l'expression \((x-2)^2\):
\[
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]
Ensuite, on multiplie par \(-0,2\):
\[
-0,2(x^2 - 4x + 4) = -0,2x^2 + 0,8x - 0,8 + 16,2 = -0,2x^2 + 0,8x + 15,4
\]
Ce qui est identique à \(f(x)\), donc \(f(x) = -0,2(x-2)^2 +16,2\).
2. Pour montrer que \(f(x) = -0,2[(x-2)^2 - 81]\), on commence par développer l'expression \((x-2)^2 - 81\):
\[
(x-2)^2 - 81 = x^2 - 4x + 4 - 81 = x^2 - 4x - 77
\]
Ensuite, on multiplie par \(-0,2\):
\[
-0,2(x^2 - 4x - 77) = -0,2x^2 + 0,8x + 15,4
\]
Ce qui est identique à \(f(x)\), donc \(f(x) = -0,2[(x-2)^2 - 81]\).
3. En utilisant la forme 2, \(f(x) = -0,2(x-2)^2 +16,2\), on peut factoriser \(-0,2(x-2)^2\) :
\[
f(x) = -0,2(x-2)^2 +16,2 = -0,2(x-2)^2 + (-0,2)(81)
\]
Donc, \(f(x) = -0,2[(x-2)^2 - 81]\).
4. La forme la mieux adaptée pour répondre aux questions est la forme 2, \(f(x) = -0,2(x-2)^2 +16,2\), car elle est plus simple à manipuler pour trouver des valeurs spécifiques de \(x\) et de \(f(x)\).
a. Pour trouver la hauteur à laquelle le plongeur saute, on calcule \(f(0)\):
\[
f(0) = -0,2(0-2)^2 +16,2 = -0,2(4) +16,2 = -0,8 +16,2 = 15,4 \text{ m}
\]
Donc, le plongeur saute d'une hauteur de \(15,4\) mètres.
b. Pour trouver les distances où le plongeur atteint une hauteur de \(15,4\) mètres après le plongeon, on résout \(f(x) = 15,4\). Cela revient à résoudre:
\[
-0,2(x-2)^2 +16,2 = 15,4
\]
On obtient \(x \approx 0,63\) mètres et \(x \approx 3,37\) mètres.
c. Pour trouver la distance à laquelle le plongeur rentre dans l'eau, on cherche le point le plus proche du bord où la hauteur est nulle. Cela correspond à \(f(x) = 0\). On résout donc:
\[
-0,2(x-2)^2 +16,2 = 0
\]
On obtient \(x \approx 2,83\) mètres.
d. Pour trouver la distance à laquelle le plongeur atteint une hauteur de \(16,2\) mètres, on résout \(f(x) = 16,2\). Cela revient à résoudre:
\[
-0,2(x-2)^2 +16,2 = 16,2
\]
On obtient \(x = 2\).
