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une entreprise fabrique chaque semaine x kilogrammes d'un produit P destiné à l'industrie pharmaceutique ( [tex](0 \leq x \leq 45)[/tex]. 

le coût unitaire de production ,en euros est modélisé par la fonction f définie sur [ 0:45] par F(x)= x² - 50x + 700.

1) déterminer le coût unitaire de production d'un kilogramme de produit P lorsque l'entreprise en a fabriqué 40 kg.

2) En déduire graphiquement la quantité de produit pour laquelle le coût unitaire de production est inférieur ou égal à 100 €.

3) Chaque kilogramme du produit est vendu 988€. 

a) montrer que le coût total de production est modélisé par la fonction c définie sur [0;45] par c(x) = x(cube) - 50x² +700x.

b) en déduire le bénéfice b(x) réalisé par l'entreprise pour x kilogrammes du produit fabriqué et vendu.

c) calculer b' (x) puis étudier son signe. En déduire le sens de variation de la fonction b et dresser son tableau de variation.

d) A partir de quelle quantité de produit vendu le bénéfice baisse -t-il ? 

Sagot :

F(40) = 1600-2000+700=300

 

x²-50x+700<100 pour x entre 20 et 30

 

c(x) c'est bien sur x*f(x) donc x^3-50x²+700x

 

b(x) vaut 988x-c(x) soit -x^3+50x²+288x

b'(x)=-3x²+100x+288  delta = 10000+12*288=116² donc racines (-100-116)/-6 ou 36 et (-100+116)/-6 ou -8/3

b' est positive sur 0,36 et négative ensuite

b est donc croissante sur 0,36 et decroissante ensuite

 

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