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C'est la dérivée d'un quotient et d'un produit
mais calculons d'abord la dérivée de xlnx pour plus de clarté : ln(x) +1
passons a la vraie dérivée :
= ((1/x-ln(x)-1)*x - (ln(x)-xln(x))*1) /x²
= (1 -xln(x) -x - ln(x) +xln(x)))/x²
= (1 - x - ln(x))/x²
Réponse :
Comment dérivée (lnx-xlnx)/x
f est une fonction quotient dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée f ' est
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = ln(x) - xlnx ⇒ u'(x) = 1/x - (lnx + x*1/x) = 1/x - lnx - 1
v(x) = x ⇒ v'(x) = 1
f '(x) = (x(1/x - lnx - 1) - (lnx - xlnx))/x²
= (1 - xlnx - x - lnx +xlnx)/x²
= (1 - x - lnx)/x²
donc f '(x) = (1 - x - lnx)/x²
Explications étape par étape :