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On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = (1/2)x² - 2x + 2.
C, est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
Pour n>3, on nomme Xn l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la
tangente à Cf au point d'abscisse n.

1) a) On note (T9) la tangente à la courbe C, au point M d'abscisse 9.
Conjecturer la valeur de xe sur le graphique ci-dessus.
M
9
b) Les sept premiers termes de la suite sont représentés par les points noirs situés sur l'axe
des abscisses. Conjecturer l'emplacement des sept premiers termes de la suite (n)n>3.
c) Quelle conjecture peut-on formuler sur un éventuel lien entre deux termes consécutifs
de la suite (n)?
2) a) Démontrer que pour tout entier n > 3, la fonction f est dérivable en n.
En déduire l'expression de f'(n) en fonction de n.
b) Écrire une équation de la tangente (Tn) à la courbe C, au point d'abscisse n.
c) En déduire l'expression de xn en fonction de n.
d) Démontrer la conjecture émise à la question 1.c.

On Considère La Fonction F Définie Sur R Par Fx 12x 2x 2 C Est La Courbe Représentative De La Fonction F Dans Un Repère Orthogonal Pour Ngt3 On Nomme Xn Labsci class=

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1) Conjectures et lien entre termes consécutifs

a) Conjecture pour xe

D'après le graphique, la tangente (T9) à la courbe Cf au point d'abscisse 9 semble être parallèle à l'axe des abscisses.

Par conséquent, on conjecture que xe = 9.

b) Conjecture pour les sept premiers termes de la suite (Xn)

Les sept premiers points noirs semblent être espacés régulièrement sur l'axe des abscisses, avec un écart constant.

Par conséquent, on conjecture que les sept premiers termes de la suite (Xn) sont également espacés régulièrement, avec un écart constant.

c) Conjecture sur le lien entre deux termes consécutifs

En observant les points noirs, on remarque que chaque terme semble être la somme de son antécédent et d'une constante.

Par conséquent, on conjecture que la suite (Xn) est une suite arithmétique de raison constante.

2) Démonstration et expressions

a) Dérivabilité de f et expression de f'(n)

Soit n un entier naturel supérieur à 3.

Déterminons la dérivée de f en n par la méthode des taux finis :

Calculons le taux d'accroissement de f entre n et n + h :

f(n + h) - f(n) = [f(n + h) - f'(n)] + [f'(n) - f(n)]

= h * f'(n + θ(h)) + f'(n)

où 0 < θ(h) < 1.

Lorsque h tend vers 0, θ(h) tend vers 0, donc le taux d'accroissement tend vers f'(n).

Par conséquent, f est dérivable en n et f'(n) = lim_(h->0) [f(n + h) - f(n)] / h.

Calculons f'(n) :

f'(n) = lim_(h->0) [f(n + h) - f(n)] / h

= lim_(h->0) [(n + h)^2 - n^2] / h

= lim_(h->0) (2n * h + h^2) / h

= lim_(h->0) 2n + h

= 2n

Par conséquent, f'(n) = 2n pour tout entier n > 3.

b) Équation de la tangente (Tn)

La tangente (Tn) à la courbe Cf au point d'abscisse n a pour équation :

y - f(n) = f'(n) * (x - n)

En substituant f'(n) = 2n, on obtient :

y - f(n) = 2n * (x - n)

c) Expression de xn

L'abscisse xn du point d'intersection de la tangente (Tn) et de l'axe des abscisses est obtenue pour y = 0.

En substituant y = 0 dans l'équation de la tangente, on obtient :

0 - f(n) = 2n * (xn - n)

xn = n - f(n) / 2n

d) Démonstration de la conjecture

Soient n et p deux entiers naturels supérieurs à 3 tels que p = n + 1.

On a :

xp - xn = (p - f(p)) / 2p - (n - f(n)) / 2n

= (p - f(p) - 2n + 2f(n)) / 2np

= (1 - f'(p) + 2f'(n)) / 2np

En utilisant f'(n) = 2n, on obtient :

xp - xn = (1 - 2p + 2n) / 2np

= (2n - 2p + 1) / 2np

= 1 / 2n

Par conséquent, la suite (Xn) est une suite arithmétique de raison constante 1/2n.

Ceci démontre la conjecture émise à la question 1.c.

Conclusion

La fonction f est dérivable pour tout entier n > 3 et sa dérivée

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