Réponse :
### Partie 1
1. Pour un revenu x ≤ 9964€, le montant de l'impôt est de 0€.
2.
a. Sur les 9964 premiers euros de revenu, le célibataire ne paie pas d'impôt (0%).
b. Sur la somme restante (x - 9964), il paie un impôt de 14%.
c. Le montant de l'impôt pour 9964 < x ≤ 27519 est f(x) = 0,14x - 1394,96.
3.
a. Le célibataire ne paie pas d'impôt sur les 9964 premiers euros.
b. Le montant du revenu annuel imposable taxé à 14% est de 27519 - 9964 = 17555€.
Le montant de l'impôt sur cette tranche est 0,14 * 17555 = 2457,7€.
c. Le montant du revenu annuel imposable restant taxé à 30% est x - 27519.
d. L'expression de f(x) en fonction de x pour 27519 < x ≤ 73779 est f(x) = 0,14 * 9964 + 0,14 * (x - 9964) + 0,3 * (x - 27519).
4. Le montant de l'impôt pour un revenu annuel imposable r appartient à [73779; 156244] est f(x) = 0,41x - 13913,69.
5. Le montant de l'impôt pour un revenu annuel imposable x > 156244 est f(x) = 0,45x - 20163,45.
6. Calcul de f(18000) et f(45000):
- f(18000) = 0,14 * 9964 = 1394,96 (car 18000 ≤ 27519)
- f(45000) = 0,41 * 45000 - 13913,69 = 18450 - 13913,69 = 4536,31
Interprétation : Le montant de l'impôt pour un revenu de 18000€ est de 1394,96€, et pour un revenu de 45000€, il est de 4536,31€.
7.
a. La fonction f est continue sur [0; +∞[ car elle est définie par morceaux.
b. Limite de f en +∞ : La limite de f en +∞ dépend de la dernière expression de f(x) pour x > 156244. Elle représente le montant de l'impôt pour des revenus très élevés.
### Partie 2
1. Le taux moyen d'imposition pour un revenu de 30000€ est d'environ 10,67%.
2. L'expression de la fonction m qui modélise le taux d'imposition moyen en fonction des revenus x sur chaque tranche est donnée par les pourcentages d'imposition correspondants.
3.
a. La fonction m est continue car elle est définie par morceaux.
b. Limite de m en +∞ : La limite de m en +∞ est le taux moyen d'imposition pour des revenus très élevés.