Bonjour,
Réponse :
1. Le plus long côté du triangle ABC est BC. On applique la réciproque du théorème de Pythagore :
D'une part :
BC² = 17² = 289
D'autre part :
AB² + AC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
L'égalité BC² = AB² + AC² est vérifiée, donc le triangle ABC est rectangle en A, selon la réciproque du théorème de Pythagore.
2. On applique la réciproque du théorème de Thalès :
D'une part :
KA/AC = 12/15 = 0,8
D'autre part :
HK/BC = 13,6/17 = 0,8
L'égalité KA/AC = HK/BC est vérifiée, donc les droites (HK) et (BC) sont parallèles, selon la réciproque du théorème de Thalès.
3.
Puisque les droites (HK) et (BC) sont parallèles, on applique le théorème de Thalès :
KA/AC = HA/AB = HK/BC
12/15 = HA/8
HA = 12 × 8 ÷ 15 = 6,4cm
4.
Si les triangles HAK et ABC sont semblables, alors leurs côtés sont proportionnels deux à deux. On a bien le même coefficient de proportionnalité pour les 3 rapports :
- KA/AC = 12/15 = 0,8
- HK/BC = 13,6/17 = 0,8
- HA/AB = 6,4/8 = 0,8
Donc les triangles HAK et ABC sont semblables.
5.
Puisque les triangles HAK et ABC sont semblables, les longueurs sont proportionnelles deux à deux et les angles sont égaux deux à deux.
Donc on a :
HAK = CAB
Puisque CAB = 90° (question 1), alors HAK mesure aussi 90°, donc le triangle HAK est rectangle en A.
Le triangle HAK est rectangle.
Bonne journée !☺
