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Bonjour !

J'ai un exercice difficile en maths. J'ai répondu aux trois premières questions, mais j'ai beaucoup de mal pour le reste.

Une entreprise vend 55 € un jouet dont le prix de revient est 40 €. Elle en a vendu 1 000 cette année. Une étude de marché montre qu'une variation du prix de vente de 1 € provoque une variation, en sens contraire, de 100 du nombre de jouets vendus.

1) Calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise au prix actuel.

2) Montrer que, si l'entreprise augmente son prix de 2 €, son bénéfice baissera. De combien sera cette baisse ?

3) Que se passera-t-il si elle baisse son prix de 3 € ?

4) L'entreprise décide de baisser son prix de vente de manière à obtenir le bénéfice maximal ; on appelle x la baisse, en euros, du prix de vente et B(x) le bénéfice réalisé.
a) Montrer que B(x)= −100x2 + 500x + 15 000.
b) Expliquer pourquoi 0 x < 15.
c) On désigne par B'(x) la fonction dérivée de la fonction B(x). Calculer B'(x).
d) Étudier le signe de B'(x), puis en déduire les variations de la fonction B sur l'intervalle [0;15].

5) En déduire la baisse qui sera choisie, le nouveau prix de vente, le nouveau bénéfice et l'augmentation de bénéfice ainsi obtenue.

J'ai pu répondre aux trois premières questions, mais je bloque pour le reste.
Merci infinimment pour votre aide


Sagot :

4a) Après une baisse de x €, le prix de vente devient 55-x et le nombre vendu devient 1000+100x) donc la recette est (1000+100x)(55-x)
Le prix de revient devient 40(1000+100x)
Donc le bénéfice est B(x)=(1000+100x)(55-x)-40(1000+100x)
B(x)=55000-1000x+5500x-100x²-40000-4000x
B(x)=-100x²+500x+15000

4b) Le prix de vente ne peut être inférieur au prix de revient donc il faut que 55-x>40
Soit x<55-40
donc x<15

4c) B'(x)=-200x+500

4d) B'(x)≥0 si -200x+500≥0
Soit x≤500/200 ⇔ x≤2,5
x          0                          2,5                            15
B'(x)                    +                               -
B(x)          croissant                    décroissant

5) Le bénéfice est maximal pour x=2,5 donc le prix de vente sera 52,5 €
Le bénéfice sera donc B(2,5)=-100*(2,5)²+500*2,5+15000=15625 €
Soit une augmentation de bénéfice de 625 €
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