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Exercice 1 (10 pts)
On considère la figure ci-dessous sur laquelle les droites (BC) et (HE) se
coupent en A. On donne CD 4,2 cm et AB-7 cm.
A
B
H
F
C
(1) Prouver que l'aire du quadrilatère HEDB vaut 29,4 cm².
(2) Démontrer que la longueur BC est égale à 5,6 cm.
(3) Calculer l'aire du triangle BCD.
(4) (a) Démontrer que les droites (HB) et (FC) sont parallèles.
(b) Calculer la longueur FC.
E
D

Sagot :

ByLafe
(1) Pour prouver que l'aire du quadrilatère HEDB vaut 29,4 cm², utilisons la formule de l'aire d'un rectangle :
Aire = longueur × largeur
Aire = AB × CD = 7 × 4,2 = 29,4 cm²

(2) D'après le théorème de Thalès, si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors les segments qu'elles déterminent sont proportionnels. Ici, (HE) // (FC) et (BC) est sécante, donc :
AB/AC = AD/AB
7/AC = 4,2/7
AC = 7 × 7/4,2 = 11,2/2 = 5,6 cm
Donc BC = 5,6 cm.

(3) Aire du triangle BCD = (base × hauteur)/2
Base = BC = 5,6 cm
Hauteur = AD car angle ADB = 90° (rectangle HEDB)
Aire = (5,6 × 4,2)/2 = 11,76 cm²

(4a) D'après le théorème de Thalès, si une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés, alors elle forme un triangle semblable au premier. Ici, (HE) // (FC), donc les triangles BHE et BFC sont semblables. Leurs côtés sont donc parallèles deux à deux, en particulier (HB) // (FC).

(4b) Les triangles BHE et BFC étant semblables, leurs côtés sont proportionnels :
BF/BH = BC/BE
BF/(AB-AH) = BC/(AB+AE)
BF/(7-AH) = 5,6/(7+AE)
Comme HEDB est un rectangle, ses côtés opposés sont égaux, donc AH = DE = 4,2 cm et AE = BH = (AB-AH) = (7-4,2) = 2,8 cm.
En remplaçant :
BF/(7-4,2) = 5,6/(7+2,8)
BF/2,8 = 5,6/9,8
BF = 5,6 × 2,8/9,8 = 1,6 cm
Donc FC = BC - BF = 5,6 - 1,6 = 4 cm.

En résumé :
(1) L'aire de HEDB est 29,4 cm²
(2) BC = 5,6 cm
(3) L'aire de BCD est 11,76 cm²
(4a) (HB) // (FC)
(4b) FC = 4 cm
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