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Diakinouche
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Exercice 6 Droite de SIMSON
On considère un triangle ABC et un point M du cercle circonscrit au triangle ABC. P,Q et R sont les projetés orthogonaux de M respectivement sur (BC); (AC) et (AB). 1. Montrer que : 2(PM, PR) = 2(BM, BA)[2pi] et 2(PM, PR) = 2(BM, BA)[2pi].
2. Montrer que : 2(PQ, PR) = 0[2pi].
3. En déduire que les points P,Q et R sont alignés. (la droite passant par les 3 points est appelée droite de SIMSON).​

Sagot :

Explications étape par étape:

Voici les étapes pour résoudre ce problème :

Montrer que : 2(PM, PR) = 2(BM, BA)[2π] et 2(PM, QR) = 2(BM, AC)[2π]

Soit M un point du cercle circonscrit au triangle ABC. Projetons orthogonalement M sur les côtés (BC), (AC) et (AB) pour obtenir respectivement les points P, Q et R.

On a :

2(PM, PR) = 2(BM, BA)[2π] (1)

2(PM, QR) = 2(BM, AC)[2π] (2)

En effet, les angles MPR et MBA sont égaux car ils sont inscrits dans le même cercle. De même, les angles MPQ et MAC sont égaux.

Montrer que : 2(PQ, PR) = 0[2π]

En ajoutant les équations (1) et (2), on obtient : 2(PM, PR) + 2(PM, QR) = 2(BM, BA)[2π] + 2(BM, AC)[2π] 2(PM, PR + QR) = 2(BM, BA + AC)[2π]

Or, BA + AC = BC, donc : 2(PM, PR + QR) = 2(BM, BC)[2π]

Comme PR + QR = PQ, on en déduit : 2(PQ, PR) = 0[2π]

En déduire que les points P, Q et R sont alignés

Puisque 2(PQ, PR) = 0[2π], cela signifie que les vecteurs PQ et PR sont colinéaires. Donc les points P, Q et R sont alignés.

Cette droite passant par les trois points P, Q et R est appelée la droite de Simson.

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