Une entreprise de forage en haute mer veut creuser un trou pour exploiter une nappe de pétrole. La roche étant de plus en plus dure en profondeur, on admettra
Le coût du premier mêtre à creuser est 1000€
Chaque nouveau mêtre coûte 50 € de plus que le précédent.
Pour n ∈ N*, on note Un le coût en € du n-ième métre. Ainsi, U1=1000 (et U0 n'existe pas!).
De même, pour n ∈ N*, on note Sn, le coût en € d' un trou de n métres.
Par conséquent : Sn=U1 + U2 + U3 + …+ Un
1. Ecrire la somme Sn, à l'aide du symbole ‘Σ’.
2. Calculer 'à la main': U2, U3 et S3.
3. Pour tout n ∈ N*, exprimer Un+1 en fonction de Un. Quelle est la nature de la suite u?
4. Prouver que le 20ème mètre coûte 1950€.
5. Calculer le coût pour creuser un trou de 50 mètres :
(a) En utilisant le programme Python suivant que vous compléterez:
u=1000
somme=u
for k in range(1,50):
U=U+…..
somme=somme+……….
print("Le coût d'un trou de 50 mètres est : ".................)
(b) En utilisant la formule du cours.
6. On dispose d'un budget de 519750 €. On veut savoir quelle profondeur maximale on peut atteindre.
(a) Montrer que peut importe n ∈ N*, Sn=25n**2+975n
(b) Résoudre dans R l'inéquation du second degré : x**2 + 39x - 207900 ≤ 0 (faire un tableau de signes).
(c) A l'aide des deux questions précédentes, déterminer alors le plus grand entier naturel n tel que
Sn ≤ 519750 et conclure.