Bonsoir 14celinedu
[tex]f(x)=x^2-2x+3[/tex]
1) Déterminer f'(x)
[tex]f'(x)=(x^2-2x+3)'\\f'(x)=(x^2)'-(2x)'+3'\\f'(x)=2x-2+0\\\boxed{f'(x)=2x-2}[/tex]
2) calculer f'(-1) puis f(-1)
[tex]f'(x)=2x-2\Longrightarrow f'(-1)=2\times(-1)-2\\\\\Longrightarrow f'(-1)=-2-2\\\\\Longrightarrow \boxed{f'(-1)=-4}[/tex]
[tex]f(x)=x^2-2x+3\Longrightarrow f(-1)=(-1)^2-2\times(-1)+3\\\\\Longrightarrow f(-1)=1+2+3\\\\\Longrightarrow \boxed{f(-1)=6}[/tex]
3) determiner une équation de la tangente a la courbe representative de f au point d'abscisse -1
L'équation de la tangente est de la forme : [tex]y=f'(-1)(x+1)+f(-1)[/tex]
soit [tex]y=-4(x+1)+6[/tex]
[tex] y=-4x-4+6\\\boxed{ y=-4x+2}[/tex]
4) tracer , dns un repere , la courbe representatve de f ainsi que sa tangente au point d'avscisse -1
Voir pièce jointe.
5) etudier le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variations de f sur [-3; 3] .
[tex]f'(x)\ \textless \ 0\Longleftrightarrow 2x-2\ \textless \ 0\\f'(x)\ \textless \ 0\Longleftrightarrow 2x\ \textless \ 2\\\\f'(x)\ \textless \ 0\Longleftrightarrow x\ \textless \ \dfrac{2}{2}\\\\\boxed{f'(x)\ \textless \ 0\Longleftrightarrow x\ \textless \ 1}\\\\f'(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow 2x-2\ \textgreater \ 0\\f'(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow 2x\ \textgreater \ 2\\\\f'(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\ \textgreater \ \dfrac{2}{2}\\\\\boxed{f'(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\ \textgreater \ 1}[/tex]
Donc, dans [-3 ; 3],
-3 < x < 1 <==> f'(x) < 0
1 < x < 3 <==> f'(x) > 0.
Tableau de variation de f sur [-3 ; 3]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-3&&1&&3 \\ f'(x)&&-&0&+&\\ f(x)&&\searrow&2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
