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Mwaka262
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bonjour dans un exercice où j'ai le sujet est posté dans un autre sujet , j'ai une suite non monotone mais croissante lorsque u0 appartient à 1;2 et qui est minorée par 1 , Mais une autre question me demande si un converge vers 1 . cependant je ne connais pas de théorème qui permet de montrer qu'une suite croissante et minorée converge . Comment pourrai je faire s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé : Répondre par oui ou non à chacune des questions suivantes en justifiant la réponse . soit la suite (un) définie par u0€ ]1;+?[ et la relation de récurrence suivante : pour tout n , un+1=racinne carré de (3un-2).
1. La suite (un) est monotone.
2. la suite (un) est minorée par 1.
3. Si u0 € ] 1;2[ , alors la suite (un) converge vers 1.
4. Si u0 € ] 1;2[ , alors la suite (un) converge vers 2.
5.4. Si u0 € ] 2;+?[ , alors la suite (un) converge vers 2." j'ai mis non à la première et oui à la deuxième mais je bloque pour la troisième ... merci de votre aide

Sagot :

soit la suite (Un) définie par U0€ ]1;+∞[ et la relation de récurrence suivante : pour tout n , U(n+1)=√(3Un-2).

1. La suite (Un) est monotone.
U(n+1)-U(n)=√(3Un-2)-Un
               =((3Un-2)-Un²)/√(3Un-2)+Un)
               =(1-Un)(Un-2)/√(3Un-2)+Un)
or U0>1 donc Un>1 donc 1-Un<0
de plus (Un) est majorée par 2 donc Un-2<0
donc U(n+1)-U(n)>0
donc (Un) est croissante et monotone
donc VRAI

2. la suite (un) est minorée par 1.
U0>1 et on montre par récurrence sur n que Un>1
donc (Un) est minorée par 1
donc VRAI

3. Si u0 € ] 1;2[ , alors la suite (un) converge vers 1.
1<U0<2 donc (Un) est croissante et majorée par 2
donc (Un) est convergente
sa limite L vérifie L=√(3L-2)
donc L²-3L+2=0
donc L=1 ou L=2
or (Un) est croissante donc (Un) converge vers 2
donc FAUX

4. Si u0 € ] 1;2[ , alors la suite (un) converge vers 2.
1<U0<2 donc (Un) est croissante et majorée par 2
donc (Un) est convergente
sa limite L vérifie L=√(3L-2)
donc L²-3L+2=0
donc L=1 ou L=2
or (Un) est croissante donc (Un) converge vers 2
donc VRAI

5.4. Si u0 € ] 2;+∞[ , alors la suite (un) converge vers 2."
U0>2 donc on montre par récurrence que Un>2
donc U(n+1)-U(n)<0
donc (Un) est décroissante et minorée par 2
donc (Un) est convergente
de plus sa limite L vérifie L=√(3L-2)
donc L²-3L+2=0
donc L=1 ou L=2
donc (Un) est convergente vers 2
donc VRAI


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