FRstudy.me vous connecte avec des experts prêts à répondre à vos questions. Découvrez des solutions fiables à vos questions rapidement et précisément avec l'aide de notre communauté d'experts dévoués.
Sagot :
Bonsoir Bwambale927
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{5x+1}{x+5}\\\\f'(x)=\dfrac{(5x+1)'(x+5)-(x+5)'(5x+1)}{(x+5)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5(x+5)-1(5x+1)}{(x+5)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5x+25-5x-1}{(x+5)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{24}{(x+5)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+oo[
2a) Graphique en pièce jointe.
b) Puisque [tex]u_0\ \textgreater \ u_1\ \textgreater \ u_2\ \textgreater \ u_3\ \textgreater \ u_4[/tex], nous pouvons conjecturer que la suite (un) est décroissante.
Le graphique montre que nous pourrions supposer qu'elle converge vers 1.
3) a) Démontrer , par récurrence que pour tout n de N, 0<= un+1<=un<=3.
Initialisation :
[tex]u_0=3\\\\u_1=\dfrac{5u_0+1}{u_0+5}=\dfrac{5\times3+1}{3+5}=\dfrac{16}{8}=2\\\\Donc\ \ \boxed{0\le u_1\le u_0\le 3}[/tex]
La relation est initialisée.
Hérédité :
Si [tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le 3[/tex], montrons que [tex]0\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 3[/tex]
En effet, la fonction f étant strictement croissante sur [0;+oo[, nous obtenons :
[tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le 3\Longrightarrow f(0)\le f(u_{n+1})\le f(u_n)\le f(3)\\\\0\le u_{n+1}\le u_n\le 3\Longrightarrow \dfrac{1}{5}\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 2\\\\0\le u_{n+1}\le u_n\le 3\Longrightarrow \boxed{0\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 3}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, la relation 0 ≤ un+1 ≤ un ≤ 3 est vérifiée pour tout n naturel.
b) Que peut on en déduire quant à la convergence de la suite ?
La suite (un) étant décroissante et bornée, elle admet une limite.
4) Soit (vn) la suite définie par vn = (un-1)/(un+1) pour n>=0
a) Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
[tex]v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{5u_n+1}{u_n+5}-1}{\dfrac{5u_n+1}{u_n+5}+1}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{5u_n+1-u_n-5}{u_n+5}}{\dfrac{5u_n+1+u_n+5}{u_n+5}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{4u_n-4}{6u_n+6}\\\\v_{n+1}=\dfrac{4(u_n-1)}{6(u_n+1)}\\\\v_{n+1}=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{2}{3}\times v_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 2/3 et dont le premier terme est V0=1/2.
b) Pour tout n>=0, exprimer un en fonction de vn .
[tex]v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+1}\\\\(u_{n}+1)\times v_{n}=u_{n}-1\\\\u_{n}\times v_{n}+v_n=u_{n}-1\\\\u_n-u_n\times v_n=1+v_n\\\\u_n(1-v_n)=1+v_n\\\\\boxed{u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}}[/tex]
c) Déterminer la limite de la suite vn puis conclure quant a la limite de un .
La suite (vn) est géométrique et de raison 2/3 avec 0 < 2/3 < 1,
Donc [tex] \lim_{n \to +\infty} \ v_n =0[/tex]
Par conséquent,
[tex] \lim_{n \to +\infty}\ u_n =\dfrac{1+0}{1-0}\\\\\boxed{ \lim_{n \to +\infty}\ u_n =1}[/tex]
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{5x+1}{x+5}\\\\f'(x)=\dfrac{(5x+1)'(x+5)-(x+5)'(5x+1)}{(x+5)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5(x+5)-1(5x+1)}{(x+5)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5x+25-5x-1}{(x+5)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{24}{(x+5)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+oo[
2a) Graphique en pièce jointe.
b) Puisque [tex]u_0\ \textgreater \ u_1\ \textgreater \ u_2\ \textgreater \ u_3\ \textgreater \ u_4[/tex], nous pouvons conjecturer que la suite (un) est décroissante.
Le graphique montre que nous pourrions supposer qu'elle converge vers 1.
3) a) Démontrer , par récurrence que pour tout n de N, 0<= un+1<=un<=3.
Initialisation :
[tex]u_0=3\\\\u_1=\dfrac{5u_0+1}{u_0+5}=\dfrac{5\times3+1}{3+5}=\dfrac{16}{8}=2\\\\Donc\ \ \boxed{0\le u_1\le u_0\le 3}[/tex]
La relation est initialisée.
Hérédité :
Si [tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le 3[/tex], montrons que [tex]0\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 3[/tex]
En effet, la fonction f étant strictement croissante sur [0;+oo[, nous obtenons :
[tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le 3\Longrightarrow f(0)\le f(u_{n+1})\le f(u_n)\le f(3)\\\\0\le u_{n+1}\le u_n\le 3\Longrightarrow \dfrac{1}{5}\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 2\\\\0\le u_{n+1}\le u_n\le 3\Longrightarrow \boxed{0\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 3}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, la relation 0 ≤ un+1 ≤ un ≤ 3 est vérifiée pour tout n naturel.
b) Que peut on en déduire quant à la convergence de la suite ?
La suite (un) étant décroissante et bornée, elle admet une limite.
4) Soit (vn) la suite définie par vn = (un-1)/(un+1) pour n>=0
a) Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
[tex]v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{5u_n+1}{u_n+5}-1}{\dfrac{5u_n+1}{u_n+5}+1}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{5u_n+1-u_n-5}{u_n+5}}{\dfrac{5u_n+1+u_n+5}{u_n+5}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{4u_n-4}{6u_n+6}\\\\v_{n+1}=\dfrac{4(u_n-1)}{6(u_n+1)}\\\\v_{n+1}=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{2}{3}\times v_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 2/3 et dont le premier terme est V0=1/2.
b) Pour tout n>=0, exprimer un en fonction de vn .
[tex]v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+1}\\\\(u_{n}+1)\times v_{n}=u_{n}-1\\\\u_{n}\times v_{n}+v_n=u_{n}-1\\\\u_n-u_n\times v_n=1+v_n\\\\u_n(1-v_n)=1+v_n\\\\\boxed{u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}}[/tex]
c) Déterminer la limite de la suite vn puis conclure quant a la limite de un .
La suite (vn) est géométrique et de raison 2/3 avec 0 < 2/3 < 1,
Donc [tex] \lim_{n \to +\infty} \ v_n =0[/tex]
Par conséquent,
[tex] \lim_{n \to +\infty}\ u_n =\dfrac{1+0}{1-0}\\\\\boxed{ \lim_{n \to +\infty}\ u_n =1}[/tex]
Merci d'être un membre actif de notre communauté. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous pouvons atteindre de nouveaux sommets de connaissances. Vous avez des questions? FRstudy.me a les réponses. Revenez souvent pour rester informé.
