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Sagot :
Bonjour Optimiste
1) Nous savons que [tex]v_n= \dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}+2}[/tex]
Donc,
[tex]v_{n+1}= \dfrac{2u_{n+1}+1}{u_{n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{2(\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1})+1}{\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{\dfrac{-14u_n-16}{2u_n+1}+\dfrac{2u_n+1}{2u_n+1}}{\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1}+\dfrac{2(2u_n+1)}{2u_n+1}}[/tex]
[tex]\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{\dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{2u_n+1}}{\dfrac{-7u_n-8+2(2u_n+1)}{2u_n+1}}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{-7u_n-8+2(2u_n+1)}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{-7u_n-8+4u_n+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-12u_n-15}{-3u_n-6}[/tex]
[tex]\\\\v_{n+1}= \dfrac{-3(4u_n+5)}{-3(u_n+2)}\\\\\boxed{v_{n+1}= \dfrac{4u_n+5}{u_n+2}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]v_{n+1}-v_n= \dfrac{4u_n+5}{u_n+2}-\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{4u_n+5-2u_n-1}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{2u_n+4}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{2(u_n+2)}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= 2\\\\\boxed{v_{n+1}=v_n+ 2}[/tex]
Nous en déduisons que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 2 et dont le premier terme est [tex]v_0=1[/tex] car [tex]v_0=\dfrac{2u_0+1}{u_0+2}=\dfrac{2\times1+1}{1+2}=\dfrac{3}{3}=1[/tex]
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
Selon la formule exprimant Vn en fonction de n, nous obtenons :
[tex]v_n=v_0+n\times(raison)\\\\v_n=1+n\times2\\\\\boxed{v_n=1+2n}[/tex]
De plus,
[tex]v_n=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\1+2n=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\(1+2n)(u_n+2)=2u_n+1\\\\u_n+2+2n.u_n+4n=2u_n+1\\\\u_n+2n.u_n-2u_n=1-2-4n\\\\2n.u_n-u_n=-4n-1[/tex]
[tex]u_n(2n-1)=-4n-1\\\\\boxed{u_n=\dfrac{-4n-1}{2n-1}}[/tex]
c) Quel est le sens de variation de (Un)
Soit la fonction f définie sur l'ensemble ]0;+oo[-{1/2} par [tex]f(x)=\dfrac{-4x-1}{2x-1}[/tex]
La fonction f est croissante sur l'ensemble ]0;+oo[-{1/2} car sa dérivée est positive sur cet ensemble.
En effet :
[tex]f'(x)=\dfrac{(-4x-1)'(2x-1)-(-4x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-4(2x-1)-(-4x-1)\times2}{(2x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-8x+4+8x+2}{(2x-1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{6}{(2x-1)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) qui, selon la réponse b), peut être également définie par [tex]u_n=\dfrac{-4n-1}{2n-1}[/tex] est croissante sur N*
1) Nous savons que [tex]v_n= \dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}+2}[/tex]
Donc,
[tex]v_{n+1}= \dfrac{2u_{n+1}+1}{u_{n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{2(\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1})+1}{\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{\dfrac{-14u_n-16}{2u_n+1}+\dfrac{2u_n+1}{2u_n+1}}{\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1}+\dfrac{2(2u_n+1)}{2u_n+1}}[/tex]
[tex]\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{\dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{2u_n+1}}{\dfrac{-7u_n-8+2(2u_n+1)}{2u_n+1}}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{-7u_n-8+2(2u_n+1)}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{-7u_n-8+4u_n+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-12u_n-15}{-3u_n-6}[/tex]
[tex]\\\\v_{n+1}= \dfrac{-3(4u_n+5)}{-3(u_n+2)}\\\\\boxed{v_{n+1}= \dfrac{4u_n+5}{u_n+2}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]v_{n+1}-v_n= \dfrac{4u_n+5}{u_n+2}-\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{4u_n+5-2u_n-1}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{2u_n+4}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{2(u_n+2)}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= 2\\\\\boxed{v_{n+1}=v_n+ 2}[/tex]
Nous en déduisons que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 2 et dont le premier terme est [tex]v_0=1[/tex] car [tex]v_0=\dfrac{2u_0+1}{u_0+2}=\dfrac{2\times1+1}{1+2}=\dfrac{3}{3}=1[/tex]
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
Selon la formule exprimant Vn en fonction de n, nous obtenons :
[tex]v_n=v_0+n\times(raison)\\\\v_n=1+n\times2\\\\\boxed{v_n=1+2n}[/tex]
De plus,
[tex]v_n=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\1+2n=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\(1+2n)(u_n+2)=2u_n+1\\\\u_n+2+2n.u_n+4n=2u_n+1\\\\u_n+2n.u_n-2u_n=1-2-4n\\\\2n.u_n-u_n=-4n-1[/tex]
[tex]u_n(2n-1)=-4n-1\\\\\boxed{u_n=\dfrac{-4n-1}{2n-1}}[/tex]
c) Quel est le sens de variation de (Un)
Soit la fonction f définie sur l'ensemble ]0;+oo[-{1/2} par [tex]f(x)=\dfrac{-4x-1}{2x-1}[/tex]
La fonction f est croissante sur l'ensemble ]0;+oo[-{1/2} car sa dérivée est positive sur cet ensemble.
En effet :
[tex]f'(x)=\dfrac{(-4x-1)'(2x-1)-(-4x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-4(2x-1)-(-4x-1)\times2}{(2x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-8x+4+8x+2}{(2x-1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{6}{(2x-1)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) qui, selon la réponse b), peut être également définie par [tex]u_n=\dfrac{-4n-1}{2n-1}[/tex] est croissante sur N*
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