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Optimiste
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Aide moi svp. C'est un exercice de suite Arihmetique ( S.A )

Exo I. On considere la suite (Vn) definie sur N
par U n+1= -7Un-8 / 2Un+1 et Uo= 1
a) Montrer que la suite (Vn) definie sur N par :
Vn= 2 Un+1 / Un+2 est une suite arithmetique
dont on precisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

c) Quel est le sens de variation de (Un)





NB. le symbole : / veut dire sur c'est a dire la premiere partie est au dessus et la deuxieme est au dessous.

Merci deja pour votre Aide.

Sagot :

Bonjour Optimiste

1) Nous savons que  [tex]v_n= \dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}+2}[/tex]
Donc,
[tex]v_{n+1}= \dfrac{2u_{n+1}+1}{u_{n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{2(\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1})+1}{\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{\dfrac{-14u_n-16}{2u_n+1}+\dfrac{2u_n+1}{2u_n+1}}{\dfrac{-7u_n-8}{2u_n+1}+\dfrac{2(2u_n+1)}{2u_n+1}}[/tex]

[tex]\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{\dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{2u_n+1}}{\dfrac{-7u_n-8+2(2u_n+1)}{2u_n+1}}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{-7u_n-8+2(2u_n+1)}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-14u_n-16+2u_n+1}{-7u_n-8+4u_n+2}\\\\\\v_{n+1}= \dfrac{-12u_n-15}{-3u_n-6}[/tex]

[tex]\\\\v_{n+1}= \dfrac{-3(4u_n+5)}{-3(u_n+2)}\\\\\boxed{v_{n+1}= \dfrac{4u_n+5}{u_n+2}}[/tex]

Par conséquent,

[tex]v_{n+1}-v_n= \dfrac{4u_n+5}{u_n+2}-\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{4u_n+5-2u_n-1}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{2u_n+4}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= \dfrac{2(u_n+2)}{u_n+2}\\\\v_{n+1}-v_n= 2\\\\\boxed{v_{n+1}=v_n+ 2}[/tex]

Nous en déduisons que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 2 et dont le premier terme est  [tex]v_0=1[/tex] car [tex]v_0=\dfrac{2u_0+1}{u_0+2}=\dfrac{2\times1+1}{1+2}=\dfrac{3}{3}=1[/tex]

b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
 
Selon la formule exprimant Vn en fonction de n, nous obtenons : 
[tex]v_n=v_0+n\times(raison)\\\\v_n=1+n\times2\\\\\boxed{v_n=1+2n}[/tex]

De plus,
[tex]v_n=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\1+2n=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\\\\(1+2n)(u_n+2)=2u_n+1\\\\u_n+2+2n.u_n+4n=2u_n+1\\\\u_n+2n.u_n-2u_n=1-2-4n\\\\2n.u_n-u_n=-4n-1[/tex]

[tex]u_n(2n-1)=-4n-1\\\\\boxed{u_n=\dfrac{-4n-1}{2n-1}}[/tex]

c) Quel est le sens de variation de (Un)

Soit la fonction f définie sur l'ensemble ]0;+oo[-{1/2} par [tex]f(x)=\dfrac{-4x-1}{2x-1}[/tex]

La fonction f est croissante sur l'ensemble ]0;+oo[-{1/2} car sa dérivée est positive sur cet ensemble.
En effet :
[tex]f'(x)=\dfrac{(-4x-1)'(2x-1)-(-4x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-4(2x-1)-(-4x-1)\times2}{(2x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{-8x+4+8x+2}{(2x-1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{6}{(2x-1)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]

Par conséquent, la suite (Un) qui, selon la réponse b),  peut être également définie par [tex]u_n=\dfrac{-4n-1}{2n-1}[/tex] est croissante sur N*
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