Soit la fonction définie sur L'intervalle ouverte -1;+ par f(x)=(e^x)/(1+x).
On note (c) la courbe représentative d et f dans un repère du plan.
a) soit a un réel de l'intervalle ouverte [-1;+∞[. Ecrire une équation de la tangente (Ta) à (C) au point d'abscisse a.
(Ta) : y=f'(a)(x-a)+f(a)
f(x)=(e^x)/(1+x)
f'(x)=(e^x(1+x)+e^x)/(1+x)²=e^x(2+x)/(1+x)²
donc (Ta) : y=e^a(2+a)/(1+a²)(x-a)+e^a/(1+a)
B) démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour lesquelles la droite (Ta) passe par l'origine du repère.
(Ta) passe par O(0;0) donc
0=e^a(2+a)/(1+a²)(0-a)+e^a/(1+a)
donc a(2+a)/(1+a)²=1/(1+a)
donc 2a+a²=1+a
donc a²+a-1=0
donc a=(1+√5)/2 ou a=(1-√5)/2
(nombre d'or et son conjugué)
