Bonjour !
Montrer que l'équation x3 - 3x = 1 admet une solution unique ? sur [ - 1 ; 1 ]. Déterminer , un encadrement de ? d'amplitude 0,0001
Posons f(x) = x3 - 3x .
f est dérivable, et donc continue, sur IR en tant que fonction polynôme .
? x ? IR, f '(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1)
f est continue et strictement décroissante sur [ - 1 ; 1 ].
f réalise donc une bijection de [ - 1 ; 1 ] sur l'intervalle image [ - 2 ; 2 ].
or 1 ? [ - 2 ; 2 ]
donc l'équation f(x) = 1 admet une solution unique ? sur [ - 1 ; 1 ].
Mais, je ne comprends pas comment trouver l'encadrement de la solution unique !
J'ai un exemple sous mes yeux ( sauf qu'il s'agit d'une fonction croissante donc cela doit changer ? ) j'essaye de faire pareil :
f(x)=1 admet une solution unique ? sur [-1;1]
1 est compris entre f(1) et f(-1)
donc, c'est la même chose pour ? :  -1 <? < 1
Déterminons une valeur approchée de ? en utilisant la méthode de dichotomie.
on a -1+1 /2 =0 ; f(0)=0 or 0<1 donc f(0)<1  Ainsi, ? <0 car f est une fct décroissante et l'ordre est inversé.
Donc, -1 < ? < 0
L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que l'équation x^3-3x =1 a une solution comprise entre -1 et 0. Cette solution ne peut que être ?
On a -1+0 /2 =-0,5 ; f(-0,5) =1,375 donc f(-0,5) > 1 ainsi, -0,5 < ?, ? > -0,5
Donc  -0,5 < ? < 0
L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que l'équation x^3-3x =1 a une solution comprise entre -0,5 et 0.
On a -0,5/2 = -0,25 ; f(-0,25) =0,734 donc f(-0,25)<1 ainsi, -0,25 > ? , ? < -0,25
Donc, -0,5< ?<-0,25
.... Bon après, je suppose que je suis obligée de faire à la calculatrice, ce serait beaucoup trop long, mais je ne comprends pas comment trouver la solution unique  à la calculatrice .. Le tableau de valeur est affichée devant mes yeux mais comment savoir l'encadrement de  ? ? je suis perdue pour ça ...
je vous remercie