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Kiante367
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Montrer que pour tout [tex]0 \ \textless \ x \ \textless \ dfrac{pi}{2}[/tex], on a : [tex](sin x)^{cos x}+(cos x)^{sin x} \ \textgreater \ 1[/tex]

Sagot :

(sin x)^(cos x)=e^(cos x)ln(sin x)
(cos x)^(sin x)=e^(sin x)ln(cos x)
donc
on pose f(x)=e^(cos x)ln(sin x)+e^(sin x)ln(cos x)
donc f'(x)=((-sin x)ln(sin x)+(cos x)(cos x)/(sin x))e^(cos x)+((cos x)ln(cos x)+(sin x)(-sin x)/(cos x))e^(sin x)
donc f'(x)= cos^(sin(x))(x) (cos(x) ln(cos(x))-sin(x) tan(x))+sin^(cos(x))(x) (cos(x) cot(x)-sin(x) ln(sin(x)))
donc f' s'annule en x=π/4
ainsi f possède un minimum en x=π/4
donc f(x)>f(π/4)
or f(π/4)=2*(√2/2)^(√2/2)>1
donc f(x)>1 pour tout x ∈ ]0;π/2[


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