Bonjour Cmcmed
[tex]a)\ \lim_{x\to-\infty}\
f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ xe^{1-x}[/tex]
On sait que [tex]\lim_{x\to-\infty}\ x=-\infty[/tex] et que
[tex]\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=\lim_{x\to-\infty}\ (e^1\times
e^{-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=\lim_{x\to-\infty}\ (e\times
e^{-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=(\lim_{x\to-\infty}\ e)\times
(\lim_{x\to-\infty}\ e^{-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=e\times
(\lim_{x\to+\infty}\ e^{x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=e\times
(+\infty)\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=+\infty[/tex]
D'où
[tex]\lim_{x\to-\infty}\
f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ xe^{1-x}\\\\\lim_{x\to-\infty}\
f(x)=(\lim_{x\to-\infty}\ x)\times(\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\
f(x)=(-\infty})\times(+\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to-\infty}\
f(x)=-\infty}}[/tex]
De même,
[tex]\lim_{x\to-\infty}\
g(x)=\lim_{x\to-\infty}\ x^2e^{1-x}\\\\\lim_{x\to-\infty}\
g(x)=(\lim_{x\to-\infty}\ x^2)\times(\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\
g(x)=(+\infty})\times(+\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to-\infty}\
g(x)=+\infty}}[/tex]
b) Pour tout réel non nul x,
[tex]f(x)=xe^{1-x}\\\\f(x)=x\times e^{1}\times
e^{-x}\\\\f(x)=x\times e\times \dfrac{1}{e^{x}}\\\\f(x)=e\times
\dfrac{x}{e^{x}}\\\\\boxed{f(x)=e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}}[/tex]
De même,
[tex]g(x)=x^2e^{1-x}\\\\g(x)=x^2\times e^{1}\times e^{-x}\\\\g(x)=x^2\times e\times \dfrac{1}{e^{x}}\\\\g(x)=e\times \dfrac{x^2}{e^{x}}\\\\\boxed{g(x)=e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}}[/tex]
Nous savons que
[tex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty[/tex]
D'où [tex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex] \lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty} (e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}) \\ \lim_{x \to +\infty} f(x)= e\times\lim_{x \to +\infty} ( \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}) \\ \lim_{x \to +\infty} f(x)= e\times0\\\\\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x)=0}[/tex]
De même, nous savons que [tex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty[/tex]
D'où [tex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex] \lim_{x \to +\infty} g(x)= \lim_{x \to +\infty} (e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}})\\\\\\\lim_{x \to +\infty} g(x)= e\times\lim_{x \to +\infty} ( \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}) \\ \lim_{x \to +\infty} g(x)= e\times0\\\\\boxed{\lim_{x \to +\infty} g(x)=0}[/tex]
