Bonjour TCH
Soit le nombre complexe z tel que |z| = 1
[tex]z^2+\dfrac{1}{z^2}[/tex] est un réel ssi il est égal à son conjugué, soit
[tex]z^2+\dfrac{1}{z^2}=\overline{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\\\\z^2+\dfrac{1}{z^2}=\overline{z}^2+\dfrac{1}{\overline{z}^2}}\\\\z^2-\overline{z}^2=\dfrac{1}{\overline{z}^2}}-\dfrac{1}{z^2}\\\\z^2-\overline{z}^2=\dfrac{z^2-\overline{z}^2}{z^2\times\overline{z}^2}}[/tex]
Or si |z| = 1, alors [tex]z\times\overline{z}=|z|^2=1^2=1[/tex]
D'où la relation [tex]z^2-\overline{z}^2=\dfrac{z^2-\overline{z}^2}{z^2\times\overline{z}^2}}[/tex] peut s'écrire
[tex]\\\\z^2-\overline{z}^2=\dfrac{z^2-\overline{z}^2}{(z\times\overline{z})^2}}\\\\\\z^2-\overline{z}^2=\dfrac{z^2-\overline{z}^2}{1^2}\\\\\\z^2-\overline{z}^2=\dfrac{z^2-\overline{z}^2}{1}}\\\\\\z^2-\overline{z}^2=z^2-\overline{z}^2[/tex]
ce qui est évidemment vrai !
Par conséquent,
"si |z| = 1, alors [tex]z^2+\dfrac{1}{z^2}[/tex] est un réel" est une proposition VRAIE.
