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Sagot :
Bonjour Commie423
"je dois démontrer que pour tout réel x positif: sin x < x"
Soit la fonction h définie sur [0 ; +oo[ par [tex]h(x) = x - \sin(x)[/tex]
[tex] h'(x)=1-\cos(x) [/tex]
Puisque pour tout x réel, nous avons [tex]\cos(x)\leq 1[/tex],
nous en déduisons que [tex]1-\cos(x)\geq 0[/tex], soit que [tex]h'(x)\geq 0[/tex]
D'où la fonction h est croissante sur [0 ; +oo[.
Par définition de croissance,
[tex]0\ \textless \ x\Longrightarrow h(0)\ \textless \ h(x)[/tex]
Or [tex]h(0)=0-\sin(0)=0[/tex]
D'où
[tex]0\ \textless \ x\Longrightarrow 0\ \textless \ h(x)\\\\0\ \textless \ x\Longrightarrow 0\ \textless \ x-\sin(x)\\\\\boxed{0\ \textless \ x\Longrightarrow \sin(x)\ \textless \ x}[/tex]
"je dois démontrer que pour tout réel x positif: sin x < x"
Soit la fonction h définie sur [0 ; +oo[ par [tex]h(x) = x - \sin(x)[/tex]
[tex] h'(x)=1-\cos(x) [/tex]
Puisque pour tout x réel, nous avons [tex]\cos(x)\leq 1[/tex],
nous en déduisons que [tex]1-\cos(x)\geq 0[/tex], soit que [tex]h'(x)\geq 0[/tex]
D'où la fonction h est croissante sur [0 ; +oo[.
Par définition de croissance,
[tex]0\ \textless \ x\Longrightarrow h(0)\ \textless \ h(x)[/tex]
Or [tex]h(0)=0-\sin(0)=0[/tex]
D'où
[tex]0\ \textless \ x\Longrightarrow 0\ \textless \ h(x)\\\\0\ \textless \ x\Longrightarrow 0\ \textless \ x-\sin(x)\\\\\boxed{0\ \textless \ x\Longrightarrow \sin(x)\ \textless \ x}[/tex]
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