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Sagot :
Soit x un réel positif ou nul.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx
Soient u_n = (1+x)^n et v_n = 1 + nx
1°) Vrai pour un n quelconque? --> Initialisation
Pour n = 0
(1+x)^n ≥ 1 + nx
(1+x)^0 ≥ 1 + 0x
(1+x)^0 ≥ 1
(1+x)^0 est bien égal à 1. Donc vrai pour u_0 et v_0.
2°) Vrai pour u_(n+1) et v_(n+1) ? --> Hérédité
On suppose que pour un certain entier n :
(1+x)^n ≥ 1 + nx (hypothèse de récurrence)
donc
(1+x)^(n+1) ≥ (1+x)(1+x)^n ≥ (1+x)(1+nx)
(1+x) (1+x)^n ≥ 1 + nx + x + nx²
u_(n+1) ≥ 1+(n+1)x + nx² ≥ 1+ (n+1)x car nx²≥0
Donc u_(n+1) ≥ v_(n+1)
donc la propriété est vraie à l'ordre n+1
3°) Conclusion :
Pour tout entier n et pour tout réel x≥0 : (1+x)^n ≥ 1+nx
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx
Soient u_n = (1+x)^n et v_n = 1 + nx
1°) Vrai pour un n quelconque? --> Initialisation
Pour n = 0
(1+x)^n ≥ 1 + nx
(1+x)^0 ≥ 1 + 0x
(1+x)^0 ≥ 1
(1+x)^0 est bien égal à 1. Donc vrai pour u_0 et v_0.
2°) Vrai pour u_(n+1) et v_(n+1) ? --> Hérédité
On suppose que pour un certain entier n :
(1+x)^n ≥ 1 + nx (hypothèse de récurrence)
donc
(1+x)^(n+1) ≥ (1+x)(1+x)^n ≥ (1+x)(1+nx)
(1+x) (1+x)^n ≥ 1 + nx + x + nx²
u_(n+1) ≥ 1+(n+1)x + nx² ≥ 1+ (n+1)x car nx²≥0
Donc u_(n+1) ≥ v_(n+1)
donc la propriété est vraie à l'ordre n+1
3°) Conclusion :
Pour tout entier n et pour tout réel x≥0 : (1+x)^n ≥ 1+nx
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