Bonjour Ranyaelhassan
Considérons la suite [tex](v_n)[/tex] définie pour tout entier naturel n par [tex]v_n=u_n-\dfrac{1}{2}[/tex]
Montrons que cette suite [tex](v_n)[/tex] est géométrique.
[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{u_{n+1}-\frac{1}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{(3u_{n}-1)-\frac{1}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3u_{n}-1-\frac{1}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3u_{n}-\frac{3}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3(u_{n}-\frac{1}{2})}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\boxed{\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=3=constante}[/tex]
Puisque ce quotient est un nombre réel constant, la suite [tex](v_n)[/tex] est géométrique de raison égale à 3 et donc le premier terme est [tex]v_0=u_0-\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}[/tex]
D'où
[tex]v_n=v_0\times3^n\\\\v_n=\dfrac{1}{2}\times3^n\\\\u_n-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\times3^n\\\\u_n=\dfrac{1}{2}\times3^n+\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{u_n=\dfrac{1}{2}(3^n+1)}[/tex]
