Bonjour Simba142
1) La continuité de f sur l'intervalle ]0 : +oo[ se démontre par les théorèmes de continuité.
La fonction [tex]x \mapsto x+1 [/tex] est continue sur R (fonction affine)
La fonction [tex]x \mapsto \ln(x)[/tex] est continue sur ]0 ; +oo[ (fonction logarithme)
D'où la fonction [tex]x \mapsto \ln(x+1)[/tex] est continue sur ]0 ; +oo[ comme composée des deux fonctions continues précédentes.
La fonction [tex]x \mapsto x[/tex] est continue sur R (fonction linéaire)
Donc la fonction [tex]x \mapsto \dfrac{\ln(1+x)}{x}[/tex] est continue sur ]0 ; +oo[ comme quotient de deux fonctions continues sur ]0 ; +oo[
2) Pour démontrer que f est continue en 0, il suffit de démontrer que [tex] \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}= 1[/tex]
On sait que [tex]\ln(1)=0[/tex]
D'où
[tex]\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x}\\\\\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{h \to 0^+} \dfrac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}\\\\\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=g'(1)\ \ o\grave{u}\ \ g(x)=\ln(x)[/tex]
Or [tex] g(x)=\ln(x)\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow g'(1)=\dfrac{1}{1}=1[/tex]
Donc [tex]\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1[/tex]
Par conséquent, f est continue sur [0 ; +oo[
