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Sagot :
Bonjour Dumaka39,
Il suffit de voir le cercle comme étant une courbe paramétrée.
[tex]\left\{\begin{matrix}x(t)=r\cos(t)\\y(t)=r\sin(t) \end{matrix}\right. \ \ avec\ \ t\in[0;2\pi][/tex]
Dans ce cas, la longueur du cercle sera égale à
[tex] \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{(-r\sin(t))^2+(r\cos(t))^2} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2\sin^2(t)+r^2\cos^2(t)} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2\times1} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} r \,dt[/tex]
[tex]\\\\= [rt]\limits_0^{2\pi}\\\\=r\times2\pi-r\times0\\\\=2\pi r[/tex]
Il suffit de voir le cercle comme étant une courbe paramétrée.
[tex]\left\{\begin{matrix}x(t)=r\cos(t)\\y(t)=r\sin(t) \end{matrix}\right. \ \ avec\ \ t\in[0;2\pi][/tex]
Dans ce cas, la longueur du cercle sera égale à
[tex] \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{(-r\sin(t))^2+(r\cos(t))^2} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2\sin^2(t)+r^2\cos^2(t)} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2\times1} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt{r^2} \,dt[/tex]
[tex]\\\\= \int\limits_0^{2\pi} r \,dt[/tex]
[tex]\\\\= [rt]\limits_0^{2\pi}\\\\=r\times2\pi-r\times0\\\\=2\pi r[/tex]
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