Bonjour Jimiyu511
La fonction racine carrée est bien définie en 0 et est également continue en 0.
Les domaines de définition et de continuité sont égaux à [0 ; +oo[
Par contre, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
En effet,
notons [tex]f(x) = \sqrt{x}[/tex]
Calculons le nombre dérivé de f en 0.
[tex]f'(0)=\lim_{h\to0^+}\ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\\\f'(0)=\lim_{h\to0^+}\ \dfrac{f(h)-f(0)}{h}\\\\f'(0)=\lim_{h\to0^+}\ \dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}\\\\f'(0)=\lim_{h\to0^+}\ \dfrac{\sqrt{h}}{h}\\\\f'(0)=\lim_{h\to0^+}\ \dfrac{1}{\sqrt{h}}\\\\f'(0)=+\infty\notin\mathbb{R}[/tex]
Puisque le nombre dérivé de f en 0 n'est pas un nombre réel, la fonction f (racine carrée) n'est pas dérivable en 0.
Par contre, elle est dérivable sur l'intervalle ]0 ; +oo[
Par conséquent, le domaine de dérivabilité de la fonction racine carrée est ]0 ; +oo[
