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Goredenna44
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bonjour a vous tous je dois faire un exercice pour le lycée de rambouillet et je bloque juste a un endroit je vous présente l'exercice:
soit une suite Un suite numérique définie sur N par :
Uo=0 ; Un+1= racine ( 3Un+4)
1)a) montrer que la suite est majorée par 4.
ca c'est bon j'ai utiliser la récurrence
b) montrer que Un est strictement croissante.
ca c'est bon aussi j'ai associé une fonction a la suite puis decomposé en obtenant f(x) o g(x)
c) en déduire que Un converge et déterminer sa limite
alors là j'ai dit que comme Un était croissante et majorée elle était convergente mais après je sais pas trouver sa limite
pouvez vous m'aider
2)a) montrer que pour tout entier naturel n, on a :
4-Un+1 <= 1/2 (4-Un)
donc sa j'ai utilisé la récurrence mais je suis bloqué a Un+1 je vois pas comment faire pour Un+1
voila j'espere que vouspourrez m'aider et vous remercie d'avance

Sagot :

Bonsoir,

N'oublie pas de garder le résultat du 1) a) en ajoutant que 0 < Un < 4
donc 4 < 3Un+4 < 16
d'où 2 < V(3Un+4) < 4
donc 2 < Un+1 < 4     ceci nous servira pour la dernière question de l'exercice

c) Une fois que tu as prouvé que la suite converge , comme tu l'as super bien fait , tu utilises le théorème d'unicité de la limite qui dit que lim Un+1=lim Un
quand n tend vers +oo
Soit algébriquement : l=V(3l+4)
soit l^2=3l+4         ^2 veut dire "au carré"
soit l^2-3l-4=0
Delta=25
l1=-1     impossible car l est supérieure à 0   
l2=4     solution recevable qu'on garde
Conclusion : l=4

2)a) Calculons 4-Un+1=4-V(3Un+4)=(4-V3Un+4)(4+V3Un+4)/(4+V3Un+4)
=(16-3Un-4)/4+V3Un+4
=(12-3Un)/(4+Un+1)
=3(4-Un)/(4+Un+1) = (3/4+Un+1) fois (4-Un)

Et là tu te sers du résultat du début que je t'ai rappelé
soit :  2 < Un+1 < 4
donc   6 < 4+Un+1 < 8
donc   1/8 < 1/(4+Un+1) < 1/6   car la fonction inverse est décroissante
donc   3/8 < 3/(4+Un+1) < 3/6
donc   3/8 < 3/(4+Un+1) < 1/2
donc   3/(4+Un+1) < 1/2
donc 3(4-Un)/(4+Un+1) < (1/2) fois (4-Un)
donc 4-Un+1 < (1/2) fois (4-Un)

Voilà !

Bon courage!

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