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Bonjour à tous, j'ai un petit problème concernant un "petit" exercice de récurrence alors je viens demander votre aide
Soit u(n) la suite définie par:
u(o) = -1
u (n+1) = racine de ( u (n) + 6 )
1/ Démontrer la relation suivante :
Pour tout n élément des entiers naturels, u (n+1) - 3 = ( u(n) - 3) / (3 + racine de (6 + u(n))
2/ En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que:
Pour tout n élément des entier naturels, u(n) - 3 inférieur ou égal à 0.
Désolé pour la mise en page...
J'avoue ne rien comprendre du tout, bien sûr je ne vous demande pas les résultats uniquement des petites pistes à exploiter.

Sagot :

Overjay
1/ raisonnement pas reccurence =
a- montrer que la propriété est vraie au rang 0 (pour n = 0)
on sait que U(1) = RACINE(U(0)+6) , par defintion U(1) = racine (5)
calculons U(1) - 3 =  racine(5)-3  = (racine(5)-3 ) * (racine (5)+ 3) /( racine(5)+3))
U(1) - 3 =   (5 - 3² ) / ( racine(5)+3)) = -4 /( racine(5)+3)) = (U(0)-3) / ( racine(U(0)+6)+3))

La proprité est vraie pour n = 0
b- montrons que si elle est vraie au rang n, alors elle est aussi vraie au rang n+1
On suppose que u (n+1) - 3 = ( u(n) - 3) / (3 + racine de (6 + u(n))
calculons U(n+2)-3 = racine(U(n+1)+6) -3
(...)
...multiplier et diviser  par racine (U(n+1) +6 )+ 3 (c'est la quantitié conjugée)
(...)
on trouve U(n+2) -3 = (U(n+1)-3)/(3+racine(6+U(n+1))
donc la propriété est vraie au rang N+1

c- conclusion :
la ppté est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang n alors elle est vraie au rang n+1 , donc elle est vraie pour tout n  entier naturel.

2/
a-U(0)-3 est négatif (U(0)-3 = -4
b-Si U(n)-3 est négatif, alors U(n+1) = (U(n) - 3) / (3 + racine(6 + u(n)) ) qui est donc du même signe que U(n) -3 , donc négatif.
NB : il faudrait démonter aussi que 6+U(n) est tjrs positif, sinon, on ne peut pas calculer racine(6 + u(n))
c- donc pour n entier naturel U(n) < 3



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