A. On fait un tableau de signe :
x -∞ 10 50 +∞
x-10 - + +
-x+50 + + -
(x-10)(-x+50) - + -
Donc (x-10)(-x+50)>0 pour x ∈ ]10;50[
B1. R(x)= nombre de vases vendus x prix unitaire de vente du vase
R(x)=50x
B2. B(x)=Recette - Cout de production = R(x)-C(x)
B(x)=50x-(x²-10x+500)=50x-x²+10x-500=-x²+60x-500
B3a. -x²+60x-500=-(x²-60x+500)=-(x²-2*30*x+30²-30²+500)
-x²+60x-500=-((x-30)²-900+500)=-((x-30)²-400)=-(x-30)²+400
B3b. Soit a et b ∈ [0;30] tels que a<b
Alors a-30<b-30<0 car a et b ≤30
Donc (b-30)²<(a-30)² car la fonction carré est décroissante sur IR-
Donc -(b-30)²>-(a-30)² ⇔ 400-(a-30)²<400-(b-30)² ⇔ B(a)<B(b)
Donc B(x) est croissante sur [0;30]
Soit a et b ∈ [30;60] tels que a<b
Alors 0<a-30<b-30 car a et b ≥30
Donc (b-30)²>(a-30)² car la fonction carré est croissante sur IR+
Donc -(b-30)²<-(a-30)² ⇔ 400-(a-30)²>400-(b-30)² ⇔ B(a)>B(b)
Donc B(x) est décroissante sur [30;60]
x 0 30 60
B(x) croissante décroissante
B3c. B(x) est maximale pour x=30 et B(30)=400
B4a. B(x)=400-(x-30)²=20²-(x-30)²=(20+x-30)(20-x+30)=(x-10)(50-x)
B4b. D'après la partie A, Le bénéfice est strictement positif pour x ∈ ]10;50[
