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Sagot :
Soit R, le rayon de la cuve
soit L sa longueur de la cuve
soit h la hauteur du liquide dans la cuve
soit [HS] le sgment horizontal correspondant au niveau du liquide
on cherche la surface du secteur angulaire SOA moins celle du triangle rectangle SOH.
Nous avons cos β= (R-h)/R
L'angle β est donc l'angle dont le cosinus est (R-h)/R.
donc β = Arc cos((R-h)/R) ( β est exprimé en radians.)
donc Aire(SOH) = 1/2.OH.HS
Aire(SOH) =R²/2.cos(β).sin(β) = R²/4.sin(2β)
d'où : Aire (secteur SOA) =(πR²β)/(2π)=1/2.R²β
Finalement
Aire(SHA) = 1/.R²β - R²/4.sin(2β) =1/2R²(β-1/2.sin(2β)) .
L'aire du secteur circulaire est le double de celle de SHA soit :
R²(β-1/2.sin(2β))
Le volume du liquide est donc : V=R²(β-1/2.sin(2β)).L
Application Numérique :
R=0,5 m ; L=3 m ; h=0,3 m ; β ≈ 1,16 rad
donc V ≈ 0,595 m³ soit 595 Litres
(environ 1/4 du volume total du cylindre)
soit L sa longueur de la cuve
soit h la hauteur du liquide dans la cuve
soit [HS] le sgment horizontal correspondant au niveau du liquide
on cherche la surface du secteur angulaire SOA moins celle du triangle rectangle SOH.
Nous avons cos β= (R-h)/R
L'angle β est donc l'angle dont le cosinus est (R-h)/R.
donc β = Arc cos((R-h)/R) ( β est exprimé en radians.)
donc Aire(SOH) = 1/2.OH.HS
Aire(SOH) =R²/2.cos(β).sin(β) = R²/4.sin(2β)
d'où : Aire (secteur SOA) =(πR²β)/(2π)=1/2.R²β
Finalement
Aire(SHA) = 1/.R²β - R²/4.sin(2β) =1/2R²(β-1/2.sin(2β)) .
L'aire du secteur circulaire est le double de celle de SHA soit :
R²(β-1/2.sin(2β))
Le volume du liquide est donc : V=R²(β-1/2.sin(2β)).L
Application Numérique :
R=0,5 m ; L=3 m ; h=0,3 m ; β ≈ 1,16 rad
donc V ≈ 0,595 m³ soit 595 Litres
(environ 1/4 du volume total du cylindre)
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