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Sagot :
a) Soit D(xD;yD)
On a AD(xD-5;yD-1). On sait que AD(-2;-1) donc xD-5=-2 soit xD=3 et yD-1=-1 soit yD=0
Donc D(3:0)
B appartient à d donc yB=11-2xB. Or xB=3 donc yB=11-6=5
B(3;5)
xA=5 donc 11-2xA=11-10=1=yA donc A est sur d.
b) Une équation de la droite AD est de la forme y=ax+b
Elle passe par A donc 1=5a+b soit b=1-5a
Elle passe par D donc 0=3a+b soit 3a+1-5a=0
Donc 2a=1 et a=1/2
On en déduit que b=1-5/2=-3/2
Donc (AD) : y=x/2-3/2
c) ABCD est un parallélogramme si AB=DC
AB a pour coordonnées (3-5;5-1) soit (-2;4)
DC a pour coordonnées (xC-3;yD)
Donc xC-3=-2 soit xC=1
et yC=4
Donc C(-2;4)
K est le milieu de AC et BD
Donc xK=(xA+xC)/2=(5-2)/2=3/2
et yK=(1+4)/2=5/2
K(3/2;5/2)
d) AB=√((3-5)²+(5-1)²)=√(4+16)=√20
BD=√((3-3)²+(0-5)²)=√25=5
AD=√((3-5)²+(0-1)²)=√(4+1)=√5
On a donc BD²=AB²+AD² donc ABD est rectangle en A.
On en déduit que ABCD est un rectangle.
e) DK'=CB+3/2*AC-AD
soit xK'-3=(3+2)+3/2*(-2-5)-(3-5)=5-21/2+2=-7/2
et yK'-0=(5-4)+3/2*(4-1)-(0-1)=1+9/2+1=13/2
donc xK'=3-7/2=-1/2
et yK'=13/2
K'(-1/2;13/2)
On a AD(xD-5;yD-1). On sait que AD(-2;-1) donc xD-5=-2 soit xD=3 et yD-1=-1 soit yD=0
Donc D(3:0)
B appartient à d donc yB=11-2xB. Or xB=3 donc yB=11-6=5
B(3;5)
xA=5 donc 11-2xA=11-10=1=yA donc A est sur d.
b) Une équation de la droite AD est de la forme y=ax+b
Elle passe par A donc 1=5a+b soit b=1-5a
Elle passe par D donc 0=3a+b soit 3a+1-5a=0
Donc 2a=1 et a=1/2
On en déduit que b=1-5/2=-3/2
Donc (AD) : y=x/2-3/2
c) ABCD est un parallélogramme si AB=DC
AB a pour coordonnées (3-5;5-1) soit (-2;4)
DC a pour coordonnées (xC-3;yD)
Donc xC-3=-2 soit xC=1
et yC=4
Donc C(-2;4)
K est le milieu de AC et BD
Donc xK=(xA+xC)/2=(5-2)/2=3/2
et yK=(1+4)/2=5/2
K(3/2;5/2)
d) AB=√((3-5)²+(5-1)²)=√(4+16)=√20
BD=√((3-3)²+(0-5)²)=√25=5
AD=√((3-5)²+(0-1)²)=√(4+1)=√5
On a donc BD²=AB²+AD² donc ABD est rectangle en A.
On en déduit que ABCD est un rectangle.
e) DK'=CB+3/2*AC-AD
soit xK'-3=(3+2)+3/2*(-2-5)-(3-5)=5-21/2+2=-7/2
et yK'-0=(5-4)+3/2*(4-1)-(0-1)=1+9/2+1=13/2
donc xK'=3-7/2=-1/2
et yK'=13/2
K'(-1/2;13/2)
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