2500 = 277 x 9 + 7
On en déduit que 2500 ≡ 7 [9]
Donc : 2500²⁰⁰⁵ ≡ 7²⁰⁰⁵ [9]
Calculons les premières puissance de 7 jusqu'à obtenir un nombre congru à 1 modulo 9 (un tel nombre est très intéressant au niveau des puissances) :
7¹ = 7 ≡ 7 [9]
7² = 49 ≡ 4 [9]
7³ = 343 ≡ 1 [9]
Par conséquent :
si n ≡ 1 [3] alors 7^n ≡ 7 [9]
si n ≡ 2 [3] alors 7^n ≡ 4 [9]
si n ≡ 3 [3] alors 7^n ≡ 1 [9]
2005 = 668 x 3 + 1
Donc 2005 ≡ 1 [3]
D'où : 2500²⁰⁰⁵ ≡ 7 [9]
