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Sagot :
Pour n=1 :
(u(x))'=1*u'(x)*(u(x))^(1-1)=u'(x) donc c'est vrai pour n=1
On suppose que c'est vrai au rang n :
(u(x)^n)=n*u'(x)*(u(x))^(n-1)
(u(x))^(n+1)=(u(x)^n*u(x))
On utilise la formule dérivation d'un produit : (uv)'=u'v+uv'
Donc (u(x)^(n+1))'=(u(x)^n)'*u(x)+u(x)^n*u'(x)
(u(x)^(n+1))'=n*u'(x)*(u(x)^(n-1)))*u(x)+u(x)^n*u'(x)
(u(x)^(n+1))'=u'(x)*(n*u(x)^n+u(x)^n)=(n+1)*u'(x)*u(x)^n
Donc c'est vrai au rang n+1.
On a démontré par récurrence que (u(x)n)'=n*u'(x)*(u(x))^(n-1)
(u(x))'=1*u'(x)*(u(x))^(1-1)=u'(x) donc c'est vrai pour n=1
On suppose que c'est vrai au rang n :
(u(x)^n)=n*u'(x)*(u(x))^(n-1)
(u(x))^(n+1)=(u(x)^n*u(x))
On utilise la formule dérivation d'un produit : (uv)'=u'v+uv'
Donc (u(x)^(n+1))'=(u(x)^n)'*u(x)+u(x)^n*u'(x)
(u(x)^(n+1))'=n*u'(x)*(u(x)^(n-1)))*u(x)+u(x)^n*u'(x)
(u(x)^(n+1))'=u'(x)*(n*u(x)^n+u(x)^n)=(n+1)*u'(x)*u(x)^n
Donc c'est vrai au rang n+1.
On a démontré par récurrence que (u(x)n)'=n*u'(x)*(u(x))^(n-1)
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