Bonjour,
Nous allons tout d'abord nous intéresser à la fonction g: x-> √(x²+1).
Cette fonction est définie et dérivable sur R (car pour tout réel x x²+1 est positif et car elle est la composée de deux fonctions dérivables sur R.
On pose encore une fois :
[tex]u:x\mapsto x^2+1\\
v:x\mapsto \sqrt x[/tex]
Pour tout réel x, u'(x) = 2x et v'(x) = 1/2√x.
On a alors :
[tex]g= v \circ u\\ g' = u'\times v'\circ u[/tex]
Pour tout réel x :
[tex]g'(x) = 2x\times \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\\ g'(x) = \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Puis on complète avec les formules de la somme et du produit.
[tex]\forall x\in \mathbb R,\\
f'(x) = 2\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1[/tex]
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
