1) Soient M(x;y) et M'(x';y')
On a MM'=2MH
H a pour coordonnées (a;y)
Donc MM' a pour coordonnées (x'-x;y'-y)
MH a pour coordonnées (a-x;0)
On en déduit que :
x'-x=2(a-x)
et y'-y=0
Donc x'=2a-2x+x=2a-x
et y'=y
2) On suppose que x=a est axe de symétrie de C.
Soit x=a+h ∈ Df. Le point d'abscisse a+h a pour ordonnée f(a+h)
Le symétrique du point (a+h;f(a+h)) est dans Df puisque ce point est sur C par hypothèse.
Soit (x';y') les coordonnées du symétrique.
D'après la question 1, x'=2a-x, et y'=y=f(a+h)
Or x=a+h donc 2a-x==2a-(a+h)=2a-a-h=a-h. Donc a-h ∈ Df
Le symétrique est sur C donc y'=f(x')=f(a-h)
donc f(a+h)=f(a-h)
3) On applique avec a=5/6
F(x)=-3x²+5x-1
Df=IR
Soit h tel que 5/6+h ∈ Df.
Alors 5/6-h ∈ Df puisque Df=IR
PAr ailleurs :
f(5/6+h)=-3(5/6+h)²+5(5/6+h)-1=-3(25/36+5/3*h+h²)+25/6+5h-1
f(5/6+h)=-3h²-5h-25/12+25/6+5h-1
Soit f(5/6+h)=-3h²+25/12-1=-3h²+13/12
f(5/6-h)=-3(5/6-h)²+5(5/6-h)-1=-3(25/36-5/3*h+h²)+25/6-5h-1
f(5/6-h)=-3h²+5h-25/12+25/6-5h-1
Soit f(5/6-h)=-3h²+25/12-1=-3h²+13/12
On a donc a-h ∈ Df et f(a+h)=f(a-h) donc x=5/6 est axe de symétrie de -3x²+5x-1
