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Sagot :
on applique un raisonnement par récurrence :
(Pn) : pour tout entier n≥5 : 3^n ≥ 2^n+5n²
-----------------------------------------------------------------
(I) : pour n=5 , 3^5=243 et 2^5+5*5²=157 donc (P5) est vraie
(H) supposons (Pn) vraie
donc 3^n ≥ 2^n+5n²
donc 3*(3^n) ≥ 3*(2^n+5n²)
donc 3^(n+1) ≥ 3*2^n+3*5n²
donc 3^(n+1) ≥ 2*2^n+3*5n²
donc 3^(n+1) ≥ 2^(n+1)+3*5n²
or 3*5n² ≥ 5(n+1)² dès que n≥2
car 3n² ≥ (n+1)² pour n≥2
ainsi on obtient :3^(n+1) ≥ 2^(n+1)+5(n+1)²
donc (Pn+1) est vraie
(C) :pour tout entier n≥5 : 3^n ≥ 2^n+5n²
(Pn) : pour tout entier n≥5 : 3^n ≥ 2^n+5n²
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(I) : pour n=5 , 3^5=243 et 2^5+5*5²=157 donc (P5) est vraie
(H) supposons (Pn) vraie
donc 3^n ≥ 2^n+5n²
donc 3*(3^n) ≥ 3*(2^n+5n²)
donc 3^(n+1) ≥ 3*2^n+3*5n²
donc 3^(n+1) ≥ 2*2^n+3*5n²
donc 3^(n+1) ≥ 2^(n+1)+3*5n²
or 3*5n² ≥ 5(n+1)² dès que n≥2
car 3n² ≥ (n+1)² pour n≥2
ainsi on obtient :3^(n+1) ≥ 2^(n+1)+5(n+1)²
donc (Pn+1) est vraie
(C) :pour tout entier n≥5 : 3^n ≥ 2^n+5n²
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