Bonjour Boarward
Exercice 6
[tex]f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}[/tex]
1) [tex]Df=\mathbb{R}[/tex] car x² + 1 ≠ 0 pour tout x réel.
2) Graphique en pièce jointe.
3) Images de 0 et de 1 :
[tex]f(0)=\dfrac{2\times0}{0+1}\\\\f(0)=\dfrac{0}{1}\\\\\boxed{f(0)=0}[/tex]
L'image de 0 par f est égale à 0.
[tex]f(1)=\dfrac{2\times1}{1^2+1}\\\\f(1)=\dfrac{2}{2}\\\\\boxed{f(1)=1}[/tex]
L'image de 1 par f est égale à 1.
4) Calculer les antécédents de 0 et 1 revient à résoudre les équations f(x) = 0 et f(x) = 1.
[tex]f(x)=0\\\\\dfrac{2x}{x^2+1}=0\\\\2x=0\\\boxed{x=0}[/tex]
L'antécédent de 0 par f est 0.
[tex]f(x)=1\\\\\dfrac{2x}{x^2+1}=1\\\\2x=x^2+1\\x^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x-1=0\\\boxed{x=1}[/tex]
L'antécédent de 1 par f est 1.
5) Résoudre f(x) = x/5.
Graphiquement :
Résoudre graphiquement l'équation f(x)=x/5 revient à déterminer les abscisses des éventuels points communs au graphique représentant f et la droite d'équation y = x/5.
Graphiquement, nous pourrions supposer que ces abscisses sont -3, 0 et 3.
Donc
les solutions graphiques de l'équation f(x) = x/5 sont x=-3, 0 et x = 3.
Algébriquement :
[tex]f(x)=\dfrac{x}{5}\\\\\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x}{5}\\\\2x\times5=x\times(x^2+1)\\10x=x(x^2+1)\\x(x^2+1)-10x=0\\x[(x^2+1)-10]=0\\x(x^2+1-10)=0\\x(x^2-9)=0\\x(x-3)(x+3)=0[/tex]
[tex]x=0\ \ ou\ \ x-3=0\ \ ou\ \ x+3=0\\\\\boxed{x=0\ \ ou\ \ x=3\ \ ou\ \ x=-3}[/tex]
6) Résoudre f(x)>x/5 revient à déterminer les valeurs de x telles que le graphique représentant f est au-dessus de la droite d'équation : y = x/5.
Par le graphique, nous obtenons : x < -3 ou 0 < x < 3.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > x/5 est [tex]\boxed{S=]-\infty\ ;\ -3[\ \cup\ ]0\ ;\ 3[}[/tex]
7) Le graphique représentant la fonction f est situé entre les droites d'équations y=-1 et y=1.
Par conséquent : [tex]\boxed{-1\le f(x)\le1}[/tex]
Exercice 7
[tex]f(x)=\dfrac{1-x^2}{1-x}\ \ et\ \ g(x)=x^2[/tex]
1) [tex]Df=\mathbb{R}\setminus\{1\}[/tex]
[tex]f(x)=\dfrac{1-x^2}{1-x}\\\\f(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1-x}\\\\\boxed{f(x)=1+x}[/tex]
2) Graphique en pièce jointe.
3) Résoudre f(x) = 2
[tex]1+x=2\\x=2-1\\x=1[/tex]
Cette valeur est à rejeter car elle n'appartient pas à Df
Par conséquent,
l'équation f(x) = 2 n'admet pas de solution.
4) Résoudre graphiquement f(x) > g(x)
Ce revient à déterminer les valeurs de x telles que le graphique représentant f est au-dessus du graphique représentant la fonction g.
Graphiquement, nous obtenons les réponses approchées : -0,6 < x < 1,6
Par conséquent,
l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)>g(x) est [tex]S=]-0,6\ ;\ 1,6[[/tex]
