On a un cylindre de rayon r (>0) et de hauteur h (>0). On veut que son volume V soit de 1L,
et que sa surface S soit minimale (pour utiliser le minimum de métal).
Puisque la boîte est un cylindre, V = pi.r².h = 1 litre (ou dm cube, donc r est en dm et h en dm),
donc h = 1/(pi.r²).
La surface du cylindre, c'est les deux disques plus le tour cylindrique, donc
S = 2.pi.r² + 2.pi.r.h = 2.pi.r² + 2.pi.r/(pi.r²) d'où S(r) = 2.pi.r² + 2/r.
On veut que S soit minimal : on veut donc que la dérivée de S par rapport à r soit nulle.
S'(r) = 4.pi.r - 2/r² = 0, on résout dans R, et on trouve au moins 1/[racine cubique de 2.pi] = 0,54 dm.
De là on peut aussi calculer h : on trouve 1,08 dm.
