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Sagot :
Bonjour Jessicaanne
On considère le trinôme x^2-sx+p ou s et p sont réels.
1) déterminer une condition sur s et p pour que le trinôme ait deux racines distinctes. Calculer alors la somme et le produit des ces 2 racines.
Il faut que le discriminant du trinôme soit strictement positif.
[tex]\Delta\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow (-s)^2-4\times1\times p \ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow \boxed{s^2-4p\ \textgreater \ 0}[/tex]
La somme de ces deux racines est s (qui correspond à -b/a) et le produit de ces deux racines est p (qui correspond à c/a).
2) Réciproquement on considère deux réels dont la somme est égale a s et le produit vaut p , montrer que ces deux réels sont des racines du trinôme.
Soit a et b les deux nombres réels.
[tex]s=a+b\ \ et\ \ p=a\times b[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex](x - a)(x - b) = 0[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex]x^2-ax-bx+ab=0[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex]x^2-(a+b)x+ab=0[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex]x^2-sx+p=0[/tex]
Par conséquent, les deux nombres a et b sont les racines du trinôme x²-sx+p.
3) déterminer s'ils existent 2 nombres entiers dont la somme vaut 48 et le produit 527.
Résoudre l'équation [tex]x^2-48x+527=0[/tex]
[tex]\Delta=(-48)^2-4\times1\times527=2304-2108=196\ \textgreater \ 0\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{196}=14\\\\x_1=\dfrac{48-\sqrt{196}}{2}=\dfrac{48-14}{2}=\dfrac{34}{2}=17\\\\x_2=\dfrac{48+\sqrt{196}}{2}=\dfrac{48+14}{2}=\dfrac{62}{2}=31[/tex]
Par conséquent, les nombres cherchés sont 17 et 31.
Preuve :
[tex]17+31=48\\\\17\times31=527[/tex]
On considère le trinôme x^2-sx+p ou s et p sont réels.
1) déterminer une condition sur s et p pour que le trinôme ait deux racines distinctes. Calculer alors la somme et le produit des ces 2 racines.
Il faut que le discriminant du trinôme soit strictement positif.
[tex]\Delta\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow (-s)^2-4\times1\times p \ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow \boxed{s^2-4p\ \textgreater \ 0}[/tex]
La somme de ces deux racines est s (qui correspond à -b/a) et le produit de ces deux racines est p (qui correspond à c/a).
2) Réciproquement on considère deux réels dont la somme est égale a s et le produit vaut p , montrer que ces deux réels sont des racines du trinôme.
Soit a et b les deux nombres réels.
[tex]s=a+b\ \ et\ \ p=a\times b[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex](x - a)(x - b) = 0[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex]x^2-ax-bx+ab=0[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex]x^2-(a+b)x+ab=0[/tex]
Les deux nombres a et b sont les solutions de l'équation [tex]x^2-sx+p=0[/tex]
Par conséquent, les deux nombres a et b sont les racines du trinôme x²-sx+p.
3) déterminer s'ils existent 2 nombres entiers dont la somme vaut 48 et le produit 527.
Résoudre l'équation [tex]x^2-48x+527=0[/tex]
[tex]\Delta=(-48)^2-4\times1\times527=2304-2108=196\ \textgreater \ 0\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{196}=14\\\\x_1=\dfrac{48-\sqrt{196}}{2}=\dfrac{48-14}{2}=\dfrac{34}{2}=17\\\\x_2=\dfrac{48+\sqrt{196}}{2}=\dfrac{48+14}{2}=\dfrac{62}{2}=31[/tex]
Par conséquent, les nombres cherchés sont 17 et 31.
Preuve :
[tex]17+31=48\\\\17\times31=527[/tex]
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