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Soit m un réel et soit Pm la parabole d’équation y = x2 −2mx + 5. 1. Pour quelles valeurs de m la parabole Pm coupe-t-elle l’axe des abscisses? 2. Déterminer en fonction de m les coordonnées du sommet S de Pm. 3. Montrer que le sommet S appartient à la parabole d’équation y = 5−x2. 4. Pour quelles valeurs de m la parabole Pm coupe-t-elle la parabole d’équation y = −x2 −3x + 1?


Je suis actuellement en train d'étudier les polynômes du second degré et je n'arrive pas, avec tous les essaies et brouillons utilisés à faire cet exo.
Aidez_moi svp, des explications peuvent me suffirent. Merci d'avance :)


Sagot :

La parabole coupe l'axe des abscisses si x²-2mx+5=0 a des solutions
Δ=4m²-4*1*5=4m²-20=4(m²-5)
L'équation a des solutions si Δ≥0 soit si m²≥5 donc m≤-√5 ou m≥√5

2) Pour un polynome de la forme ax²+bx+c le sommet est en x=-b/2a
Donc ici le sommet est en x=2m/2=m
Donc les coordonnées de S sont (m;-m²+5)

3) Les paraboles se coupent si l'équation x²-2mx+5=-x²-3x+1 a une ou 2 solutions
Soit si 2x²+(3-2m)x+4=0 a des solutions
Δ=(3-2m)²-4*2*4=9-12m+4m²-32=4m²-12m-23
Il faut que Δ≥0
On calcule le discriminant de 4m²-12m-23=0
Δ'=12²+4*4*23=144+368=512
√Δ'=16√2
Donc les racines sont m1=(12+16√2)/8=1,5+2√2 et m2=1,5-2√2
un polynome de coefficient en x²≥0 est positif à l'extérieur des racines donc les paraboles se coupent si m ∈ ]-∞;1,5-2√2]U[1,5+2√2;+∞[
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