c'est du troisième degré mais il n'y a rien à savoir sur la théorie du troisième degré
ici c'est la théorie du deuxième degré qui est utile et la théorie générale des polynômes
a) 2 racine de P signifie que si on remplace x par 2 le résultat est 0
c'est VRAI : 2^3 = 8 2^2 = 4 8 - 6*4 + 11*2 - 6 = 8 - 24 +22 - 6 = 0
la formule la plus importante de l'algèbre c'est
" un produit de facteurs est nul si et seulement si un facteur est nul"
donc P(2)=0 signifie que forcément un facteur de P est nul pour 2
donc P possède au moins un facteur
comme son degré est 3 il possède au maximum 3 facteurs
P peut donc avoir 1 ; 2 ou 3 facteurs
et comme on a prouvé qu'un facteur s'annule pour 2 ce facteur est (par exemple)
x-2 ( ça pourrait aussi être 2x-4 ; -x +2 ; etc mais ici il y a rien devant x^3 )
donc forcément P(x)=(x-2)(x² + bx +c) le " a" ne peut être qu'égal à 1
puisqu'il correspond au coefficient de x^3 ( ici 1 )
le c va aussi être vite trouvé car il résulte de -2*c= -6 ( le dernier terme de P)
c= 3
il reste plus qu'à trouver b
P(x ) = (x-2)(x² + bx + 3) = x^3 + bx^2 + 3x - 2x² -2bx - 6 =
x^3 + bx^ 2 - 2x^2 + 3x - 2bx -6 = x^3 - 6x² + 11x - 6
si on réfléchit bien
bx² - 2x² = -6x² ET 3x - 2bx = 11x on trouve b facilement
b= -4
