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sachant que P(x) = ax² + bx + c
a deux racines il s'annule deux fois
pour la racine x1
ax1² + bx1 + c = 0
pour la racine x2
ax2² + bx2 + c = 0
on déduit
c= -a x1² - bx1
donc
ax2² + bx2 - ax1² - bx1 = 0
a(x2² - x1²) + b(x2 -x1) =
a(x2 - x1)(x2 + x1) + b(x2 -x1)= 0
si x1 ≠ x2
a(x1 + x2 ) + b = 0 b = - a(x1 + x2)
et en remplaçant
c = -ax1² +ax1(x1 +x2) = -ax1² + ax1² + ax1x2
c = a x1x2
les deux formules permettent
d'une part
d'obtenir la somme x1 +x2 = - b/a et le produit x1x2 = c/a
d'autre part une factorisation de P(x) :
P(x) = ax² - a(x1+x2) x + ax1 x2 on retrouve l'égalité demandée
P(x)= ax² - ax1x - ax2x + ax1x2
P(x)=ax(x - x1) - ax2( x - x1)
P(x)= (x - x1)(ax - ax2)
P(x)=a(x - x1)(x -x2)