8) f(x) = x(2n -x) = 2nx - x²
f '(x) = 2n - 2x = 2( n -x) f '(x) est positif pour x< n ; négatif pour x >n
donc f est d'abord croissante puis décroissante
f admet un maximum quand x = n
ce maximum est f(n) = n (2n -n) = n *n = n²
on a montré que
quel que soit x
x(2n - x) ≤ n² donc
1(2n-1) ≤ n²
2(2n-2) ≤ n²
3(2n-3) ≤n²
.....
(n-1)(2n-n+1) ≤n²
en multipliant entre elles ces n-1 inégalités :
1(2n-1) * 2(2n-2)*3*(2n-3) *...*(n-1)(n+1) ≤ n² *n² *n²*...*n² ( n² est ecrit n-1 fois)
multiplions par n * (2n) chaque côté
1*2*3*..(n-1)*n*(n+1)...*(2n-1)*(2n) ≤ (n² )^(n-1) *n *(2n)
or (n²)^(n-1)= n^(2n -2 ) et n*(2n) = 2 *n^2
(2n)! ≤ (n )^(2n-2)* 2 n^(2)
(2n)! ≤ 2*n^(2n-2 +2) conduit au résultat (2n)! ≤ 2 * n^(2n)
(2n)! ≤ n^(2n) *(2n)
(2n) ! ≤ 2* n^(2n+1)
