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Bonjour à tous !
Je tiens tout d'abord a vous remercier pour prendre de votre temps et nous aider !
Voici mon énoncé :

Soit AMN un triangle rectangle en A tel que AM = x cm et AN = 5-x cm
1) Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
2) Existe-t-il une position du point M pour laquelle la longueur MN² est maximale ou minimale ? Si tel est le cas, déterminer cette valeur et en déduire la plus grande ou la plus petite valeur de MN.
3) Même question en considérant l'aire du triangle AMN

Sagot :

Laurance
1) x peut varier de 0 à 5
2)théorème de Pythagore
MN² = AM² + AN²   = x² +(5-x)²  

MN² =  2x²  - 10x + 25 

MN² =  2(  x² -  5x   )     +   25

x²  - 5x =   ( x-2,5)²  - 6,25

2(x²-5x) = 2(x - 2,5)²  -  12,5

MN²  = 2 (x - 2,5)²  - 12,5  + 25
= 2(x -2,5)²  + 12,5

le  minimum   de  (x-2,5)²  est 0    (  quand  x = 2,5  )  donc   le minimum  de


MN²  est  12,5   ( quand  x = 2,5 )   et le MINIMUM  de    MN  = √12,5


le  MAXIMUM  de MN  c'est  pour  x = 0   ou  x = 5   et  c'est   √25  = 5
(  il  n'y a pas de triangle  car  AM=0   ou  AN=0  )

3) l'aire   vaut    x(5-x) /2 

x(5-x) = 5x  - x²   =   - ( x - 2,5)²  +  6,25 

l(aire   vaut    -0,5(x -2,5)²  + 3, 125

l'aire est donc  toujours  inférieure   à  3,125

le MAXIMUM  de l'aire  est  pour  x = 2,5   et  vaut   3,125

son  MINIMUM   c'est 0  ( pour x =0 ou 5  ; il n'y a pas de triangle)
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