-2x² + 11x - 23 = -2x² + 6x + 5x - 23
-2x² +6x = -2x(x-3)
5x -23 = 5x - 15 - 8 = 5(x-3) - 8
F(x)= [ -2x(x-3) + 5(x -3) - 8 ] / ( x-3) parenthèses
[tex]f(x)= -2x + 5 - \frac{8}{x-3} [/tex]
1) la limite de -2x +5 est +∞ ( à - ∞ ) et -∞( à +∞)
la limite de -8/ (x-3) est 0 ( à +∞ et à -∞) donc
la limite de F est +∞ ( à -∞) et - ∞ ( à + ∞)
la limite de -2x +5 est -1 à 3- ou 3 +
la limite de -8/(x-3) est +∞ ( à 3-) et -∞ ( à 3+)
donc la limite de F est +∞ ( à 3-) et - ∞ ( à 3+)
une asymptote verticale x=3
2)la dérivée de -2x +5 est -2
la dérivée de -8/(x-3) est +8/(x-3)² [tex]
F'(x)= -2 + \frac{8}{ (x-3)^{2} } [/tex]
son signe :
F'(x) est positif si [tex] \frac{8}{ (x-3)^{2} } [/tex] est supérieur à 2
donc si [tex] \frac{4}{ (x-3)^{2} } [/tex] supérieur à 1
soit (x-3)² ≤ 4 -2≤x-3≤2 1 ≤ x ≤ 5
donc de - ∞ à 1 F'(x) ≤ 0 et F est décroissante
de 1 à 3 et de 3 à 5 F est croissante
de 5 à +∞ F est décroissante
comme vu au dessus la limite de F(x) - (-2x+5) est 0
la courbe et la droite sont très proches ( asymptotes) l'une de l'autre
equation de T
y = F'(-1 )(x+1) + F(-1) F'(-1)= - 2 + 8/16 = - 1,5 F(-1)= 7 -8/(-4) = 9
y=1,5(x+1) + 9 = 1,5x + 10,5 tangente
5) T parallèle à D si F'(x) = -2 or F'(x)= -2
entraînerait
-8 = 0 impossible !
