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Bonjeur , c'est urgent pour demain svppp :
Montrer que : x²+y²+xy=1 ===> x^3y +y^3x >= -2
Merci d'avance

Sagot :

Laurance
[tex] x^{3} y + y^{3}x = xy( x^{2} + y^{2} ) = xy( 1 - xy) [/tex]
d'après   x² +y² =  1 - xy 
et
[tex] x^{3} y + y^{3}x +2 = xy - (xy)^{2} +2 [/tex]

xy - (xy)²  + 2  =    ( 1+xy)(2 -xy) 
de   xy =  1  -(x² +y²)    on déduit  que   xy  est  toujours  inférieur  à  1
donc  2 -xy est  positif
et de  ( x +y)² = x² + 2xy  + y² =  2xy  + 1 -xy  =  1 + xy    on déduit que
1 +xy est positif
conclusion     (1+xy)(2-xy)  est  positif    d'où 
xy  -(xy)²  supérieur à  - 2

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